【NOI2019模拟2019.6.27】幻化成风（集合容斥系数，胡乱dp）

Description:

题解：

xjb乱搞题，卡死在无序了。

考虑肯定是枚举个集合划分，然后强制一个集合里的选的b一样嘛，就可以无限背包了，然后发现如果按题意说的无序的话特别难做，不妨考虑有序，即每一个a[i]都有标号，最后除以∏cnt[a[i]]\prod cnt[a[i]]∏cnt[a[i]]就好了。

先思考暴力枚举集合划分，系数是什么，系数应该是只和这个集合包含的元素有关的，不妨设f[i]f[i]f[i]表示一个i个点的集合的容斥系数，显然需要满足：
[n=1]=ef[xn]∗n![n=1]=e^{f}[x^n]*n![n=1]=ef[xn]∗n!
因为是有标号的。
写成dp式就是[n=1]=f[n]+∑i=1n−1Cn−1i−1∗f[i]∗[(n−i)=1][n=1]=f[n]+\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}*f[i]*[(n-i)=1][n=1]=f[n]+∑i=1n−1Cn−1i−1∗f[i]∗[(n−i)=1]
归纳一下就是f[n]=(−1)n−1∗(n−1)!f[n]=(-1)^{n-1}*(n-1)!f[n]=(−1)n−1∗(n−1)!

pty给了生成函数的推法：
要使efe^fef次方的一次项系数为1（常数），>1次项系数为0，那么直接将ln(1+x)ln(1+x)ln(1+x)带进去，经过一波求导、泰勒展开可以得到同样的东西。

然后我们肯定不能暴力枚举集合划分。

注意对于一个划分我们只关心每一个集合∑a[i]\sum a[i]∑a[i]和元素个素，那么两种划分的各个集合的∑a[i]\sum a[i]∑a[i]和元素个素一样的是可以缩到一起的，这个可以用set套map实现。

这样直接dp还是会T非的，在搞完上面的之后，再把各个∑a[i]\sum a[i]∑a[i]一样的缩到一起dp，由于30分整数拆分数只有5000+，即可通过本题……
.
.
.
才怪，这个破题卡常到上天，

然后我发现前面的set套map巨慢，所以把set展开成数组，又搞了个hash值来快速比较。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <= B; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <  B; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, B = y; i >= B; i --)
#define ll long long
#define pp printf
#define hh pp("\n")
using namespace std;const int N = 1e4 + 5;int n, m, a[N], b[N];
int bz[N], p[N], c[N];void sieve(int n) {fo(i, 2, n) {if(!bz[i]) p[++ p[0]] = i;for(int j = 1; i * p[j] <= n; j ++) {bz[i * p[j]] = 1;if(i % p[j] == 0) break;}}fo(i, 1, p[0]) {for(ll s = p[i]; s <= n; s *= p[i]) c[i] += n / s;}
}const int mo = 1e9 + 7;ll ksm(ll x, ll y) {ll s = 1;for(; y; y /= 2, x = x * x % mo)if(y & 1) s = s * x % mo;return s;
}
ll fac[N], nf[N];struct P {int x, y;P(int _x = 0, int _y = 0) { x = _x, y = _y;}
};bool operator < (P a, P b) {if(a.x == b.x) return a.y < b.y;return a.x < b.x;
}#define ul unsigned long long
struct D {P a[31];ul s;
};
ul a3[105];
void calc(D &a) {a.s = 0;fo(i, 1, a.a[0].x)a.s += a3[i] * a.a[i].x + a3[i + 30] * a.a[i].y;
}bool operator < (D a, D b) {return a.s < b.s;if(a.a[0].x != b.a[0].x) return a.a[0].x < b.a[0].x;if(a.a[1].x != b.a[1].x) return a.a[1].x < b.a[1].x;if(a.a[2].x != b.a[2].x) return a.a[2].x < b.a[2].x;fd(j, a.a[0].x, 3) {if(a.a[j].x < b.a[j].x) return 1;if(a.a[j].x > b.a[j].x) return 0;if(a.a[j].y < b.a[j].y) return 1;if(a.a[j].y > b.a[j].y) return 0;}return 0;
}map<D, int> :: iterator it;
map<D, int> d[2]; int o;
#define fi first
#define se secondmap<multiset<int>, int> t;
map<multiset<int>, int> :: iterator it3;
multiset<int> :: iterator it4;int f[N];ll ans;D s;int main() {freopen("count.in", "r", stdin);freopen("count.out", "w", stdout);a3[0] = 1; fo(i, 1, 100) a3[i] = a3[i - 1] * 7;scanf("%d %d", &n, &m);sieve(n);fo(i, 1, m) scanf("%d", &a[i]);sort(a + 1, a + m + 1);int m0 = m; m = 0;fo(i, 1, m0) {if(!m || a[i] != a[m])a[++ m] = a[i], b[m] = 1; elseb[m] ++;}fac[0] = 1; fo(i, 1, 30) fac[i] = fac[i - 1] * i % mo;nf[30] = ksm(fac[30], mo - 2); fd(i, 30, 1) nf[i - 1] = nf[i] * i % mo;d[o][s] = 1;fo(i, 1, m) {fo(tim, 1, b[i]) {d[!o].clear();for(it = d[o].begin(); it != d[o].end(); it ++) {s = (*it).fi;fo(j, 1, s.a[0].x) {D g = s;g.a[j].x += a[i]; g.a[j].y ++;sort(g.a + 1, g.a + g.a[0].x + 1);calc(g);d[!o][g] = (d[!o][g] + (*it).se) % mo;}s.a[++ s.a[0].x].x = a[i]; s.a[s.a[0].x].y = 1;sort(s.a + 1, s.a + s.a[0].x + 1);calc(s);d[!o][s] = (d[!o][s] + (*it).se) % mo;}o = !o;
//      fprintf(stderr, "%d\n", d[o].size());}}for(it = d[o].begin(); it != d[o].end(); it ++) {s = (*it).fi; ll g = (*it).se;multiset<int> s2; s2.clear();fo(i, 1, s.a[0].x) {s2.insert(s.a[i].x);g = g * (mo - 1) % mo * fac[s.a[i].y - 1] % mo;}t[s2] = (t[s2] + g) % mo;}for(it3 = t.begin(); it3 != t.end(); it3 ++) {memset(f, 0, sizeof f);f[0] = 1;multiset<int> s = (*it3).fi;for(it4 = s.begin(); it4 != s.end(); it4 ++) {int x = (*it4);fo(j, x, c[1]) f[j] = (f[j] + f[j - x]) >= mo ? (f[j] + f[j - x] - mo) : (f[j] + f[j - x]);}ll sum = 1;fo(i, 1, p[0]) sum = sum * f[c[i]] % mo;ans = (ans + sum * (*it3).se) % mo;}fo(i, 1, m) ans = ans * nf[b[i]] % mo;if(m0 & 1) ans = (mo - ans) % mo;pp("%lld\n", ans);
}

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