旋转向量与欧拉角罗德里格斯公式（Rodrigues's Formula）

旋转向量

旋转矩阵表达方式

旋转矩阵描述旋转，变换矩阵描述一个6自由度的三维刚体运动。但存在如下缺点：

SO(3)的旋转矩阵有9个量，但一次旋转只有3个自由度。因此这种表达方式是冗余的。同理，变换矩阵16个量表达了6个自由度的变换，也不够紧凑。
旋转矩阵自身带有约束：它必须是个正交矩阵，且行列式为1。变换矩阵也是如此。当想要估计或优化一个旋转矩阵/变换矩阵时，这些约束会使得求解变得困难。

外积与旋转的关系

外积表达了两个向量的旋转关系。对于坐标系的旋转，任意旋转可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画。可以使用一个向量，器方向与旋转轴一致，而长度等于旋转角。这种向量称为旋转向量（或轴角，Axis-Angle)。这种表示法只需要一个三维向量即可描述旋转。同样，对于变换矩阵，我们使用一个旋转向量和一个平移向量即可表达一次变换。这时的位数正好是六维度。

旋转矩阵和旋转向量之间的转换

旋转轴n，角度为 θ \theta θ，对应的旋转向量 θ \theta θn。从旋转矩阵到旋转向量的转换过程由罗德里格斯公式（Rodrigues’s Formula）表明。

罗德里格斯公式推导

v ∣ ∣ _{||} ∣∣与旋转向量v与旋转轴k(k为当我向量)相互垂直。对于与旋转轴呈任意角度的向量v，可以通过正交分解，把被旋转向量转化为与旋转轴平行的分量v ∣ ∣ _{||} ∣∣和与旋转轴垂直的分量 v ⊥ _{\bot} ⊥，其中与旋转轴平行的分量v ∣ ∣ _{||} ∣∣在旋转中是不变的，而与旋转轴垂直的分量 v ⊥ _{\bot} ⊥则恰好旋转了角度 θ \theta θ，把与旋转轴平行的分量与旋转以后的与旋转轴垂直的分量加在一起，即可得到旋转以后的分量。
对向量 v做正交分解：
v= v ∣ ∣ _{||} ∣∣+ v ⊥ _{\bot} ⊥
利用向量投影公式，可以得到 v ∣ ∣ _{||} ∣∣的表达式：
v ∣ ∣ _{||} ∣∣= (v ⋅ \cdot ⋅k)k
通过减法，得到
v ⊥ _{\bot} ⊥=v-v ∣ ∣ _{||} ∣∣=v-(v ⋅ \cdot ⋅k)k
利用外积可以计算与v ⊥ _{\bot} ⊥和k都垂直，且长度为v ⊥ _{\bot} ⊥的向量w：
w=k × \times ×v ⊥ _{\bot} ⊥=k × \times ×(v-(v ⋅ \cdot ⋅k)k)=k × \times ×v
旋转以后的向量可以表示为：
v ⊥ r o t = _{\bot rot}= ⊥rot= cos θ \theta θ v ⊥ _{\bot} ⊥+sin θ \theta θw=cos θ \theta θ(v-(v ⋅ \cdot ⋅k)k)+sin θ \theta θk × \times ×v
与v ∣ ∣ _{||} ∣∣相加即可得到旋转以后的向量的表达式：
v r o t _{ rot} rot=v ∣ ∣ _{||} ∣∣+ v ⊥ r o t _{\bot rot} ⊥rot=cos θ \theta θv+(1-cos θ \theta θ)(v ⋅ \cdot ⋅k)k+sin θ \theta θk × \times ×v

矩阵形式

在计算机图形学中，罗德里格向量旋转公式通常被用来填写旋转矩阵。如果把k 和v分别写为列向量：
( k x k y k z ) \left( \begin{matrix} k_x \\k_y \\ k_z \end{matrix} \right) ⎝⎛kxkykz⎠⎞， ( v x v y v z ) \left( \begin{matrix} v_x \\v_y \\ v_z \end{matrix} \right) ⎝⎛vxvyvz⎠⎞
则旋转以后的向量可以表示为
v r o t _{ rot} rot=Rv
其中
R=cos θ \theta θI+(1-cos θ \theta θ) ( k x k y k z ) \left( \begin{matrix} k_x \\k_y \\ k_z \end{matrix} \right) ⎝⎛kxkykz⎠⎞ ( k x , k y , k z ) (k_x,k_y,k_z) (kx,ky,kz)+sin θ \theta θ ( 0 − k z k y k z 0 − k x − k y k x 0 ) \left( \begin{matrix} 0&-k_z&k_y \\k_z&0&-k_x \\ -k_y&k_x&0 \end{matrix} \right) ⎝⎛0kz−ky−kz0kxky−kx0⎠⎞
其中，I是3阶单位矩阵。需要注意的是，公式中的第二项不是点积，而是张量积，得到的是一个3行3列的矩阵。

转换结果

R = c o s θ =cos\theta =cosθI+（1-cos θ ) \theta) θ)nn T ^T T+sin θ \theta θn^{^}
符号^{^}是向量到反对称的转换付。。可以从一个旋转矩阵到旋转向量的转换。对于转角 θ \theta θ，有：

tr(R)=cos θ \theta θtr(I)+（1-cos θ ) \theta) θ)tr(nn T ^T T)+sin θ \theta θtr(n^{^})=3+cos θ \theta θ+(1-cos θ \theta θ）=1+2cos θ \theta θ
因此：
θ \theta θ=arccos( t r ( R ) − 1 2 \frac{tr(R)-1}{2} 2tr(R)−1)
关于旋转轴n，由于旋转轴上的向量在旋转后不发生改变，说明
Rn=n
因此，转轴n是矩阵R特征值的1对应的特征向量。求解此方程，在归一化，就得到了旋转轴。“旋转轴经过旋转之后不变”。

欧拉角

欧拉角，使用3个分离的转角，把一个旋转分解成3次绕不同轴的旋转。分的细一些还可以分每次是绕固定轴旋转还是绕旋转之后的轴旋转。
航空和航模中，“偏航-俯仰-滚转”（yaw-pitch-raw）3个角度来描述一个旋转。等价于ZYX轴的旋转。
欧拉角的一个重大缺点是会碰到万向锁问题（Gimbal Lock)：在俯仰角为 ± 90 ° \pm 90° ±90°时，第一次旋转与第三次旋转将使用同一个轴，使得系统丢失一个自由度（由三次旋转变成了两次旋转），这杯称为奇异性问题。只要想用3个实数来表达3维旋转时，都会不可避免地碰到奇异性问题。由于这种原理，欧拉角不适合于插值和迭代，往往只用于人机交互中。SLAM中也很少直接用欧拉角表达姿态，同样也不会在滤波或优化中是哟个欧拉角表达旋转（因为它的奇异性）。验证算法是否有错，转换成欧拉角能快速分辨结果是否正确。