Manacher’s algorithm

LeetCode上一道求回文字符串的问题，通常容易想到的是暴力和动态规划的方法，时间复杂度为O(n^2)，后来看到有一种更巧妙的算法，Manacher’s algorithm，时间复杂度为O(n)。参考大神的博客，记下来自己的理解，方便日后查阅。

1.预处理

首先，由于通常情况下，对于奇数长度和偶数长度的不同字符串，我们需要分别处理。这里，通过巧妙的预处理，在每一个字符两边增加一个特殊字符，例如：#a#b#a#a#b#a#a#b#，这样就可以枚举到每一个中心了，就是说把两种情况都统一起来。算法的思想是利用前面已经求得的回文子串的信息，来求以当前字符中心的回文子串。

2.空间换时间

然后，我们需要用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]），比如S和P的对应关系：

S  #  1  #  2  #  2  #  1  #  2  #  3  #  2  #  1  #
P  1  2  1  2  5  2  1  4  1  2  1  6  1  2  1  2  1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）

那么怎么计算P[i]呢？该算法增加两个辅助变量（其实一个就够了，两个更清晰）id和mx，
其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。
注意：在算法中,id和mx是一直更新的，其表示，以id为起点，半径为mx势力范围内能够罩住的区间,即[id - mx,id + mx]。

3.算法逻辑分析

假设现在我们要求P[i],i关于id的对称点j是否有信息可以利用呢？主要看id为中心的回文串半径与P[j]的关系

总的来说，有三种情况

a.完全覆盖，不包括边界

此时可以完全利用i的对称点j的已有信息，即P[i]=P[j];此时，不会更新id和mx值，即可以直接处理下一个字符。

b.恰好覆盖，到达边界

此时，就需要就在边界的下一个开始继续比较下去

c.未能覆盖

此时，p[i] = mx - i 且不会更新id和mx值，即可以直接处理下一个字符。

那么P[i]=j+P[j]-i ;因为如下图，1、13不在pj里面，就是说s[1]!=s[13],而在p4里面有s[1]=s[7]，所以s[13]!=s[7]，所以不能形成更长的回文串。

参考资料：

1.http://blog.csdn.net/insistgogo/article/details/12287805

2.http://sleeping1346.blog.163.com/blog/static/1746069002013622115614829/

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