2011年国赛B题论文研读
本文知识点速查
0-1规划、线性加权评价、权重确定
一、2011年国赛B题的要求
2011年国赛B题的概括如下。
试就某市(有六个区,分别为A,B,C,D,E,F)设置交巡警服务平台的相关情况,建立数学模型分析研究下面的问题:
(1)①为A区各交巡警服务平台分配管辖范围,使尽量3分钟内能到达其在所管辖的范围内任意地方。②给出快速封锁A区13条交通要道的交巡警服务平台警力调度方案。③A区若新增2至5个平台,确定具体个数和位置。
(2)①针对全市主城六个区的具体情况,分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性。②如果有明显不合理,给出解决方案。③如果该市地点P(第32个节点)处发生了重大刑事案件,给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。
二、建模思路和主要知识技能点
1、0-1规划
这道题第一问中的三小问都是制定最优方案。这类问题建模主要使用规划方法。提取出符合实际要求的目标函数和约束条件是非常关键的。而目标函数的选择又需要将定性的问题定量化。
这三个方案制定问题还有一个共性,第一问是说“某个节点是否划在某个平台的管辖范围里”,第二问是说“某个出口是否由某个平台的警力封锁”,第三问是说“某个节点是否设置新平台”。这类“是否”问题,应该用0-1规划。
问题 | 第一小问 | 第二小问 | 第三小问 |
---|---|---|---|
目标 | 平均每个案件的出警时间最短 | 使封锁所有要道的总时间最短,即封锁要道所需时间最长的服务平台的出警时间达到最小值 | ①交巡警服务平台工作量尽量均衡,即各个服务平台平均每天工作强度的方差最小;②新建服务平台成本最小,即新建服务平台数量最少 |
约束 | ①每个路口节点都有至少一个管辖它的服务平台;②任一服务平台到达其所管辖的路口节点的时间小于3分钟 | ①每个路口节点有至少有一个对应的服务平台;②一个平台最多封锁一个路口 | 所有路口节点都必须满足在突发事件发生3分钟内有警力到达事发现场的要求 |
这个地方我想说一下第三小问,我认为这一小问的模型是有一些小错误的。第三小问的模型描述如下:(变量含义描述见原文,这里不赘述了):
第一个约束的作用,原文是这样描述的:“所有路口节点都必须满足在突发事件发生3分钟内有警方到达事发现场的要求”。而第二个约束,原文是这样描述的:“如果在点增设服务平台,为1,否则为0。”也就是:对于任意路口节点,总存在平台使得警力可以3min内到达该节点。但是我们看一下约束一这个公式,计数变量 j j j是从21开始的,于是约束条件变成了:对于任意路口节点,总存在新增平台使得警力可以3min内到达该节点。这个条件被增强了。
我觉得可以做如下修改:
(1)把第二个条件改为“如果在点在新增工作完成后,有服务平台(不管是新增的还是原有的),则为1,否则为0。”
(2)第一个条件计数变量j从1开始,即 ∑ j = 1 92 a i j y i ≥ 1 , i = 1 , 2 , … , 92 \sum_{j = 1}^{92} a_{ij}y_{i}\ge1,i=1,2,…,92 j=1∑92aijyi≥1,i=1,2,…,92
(3)修改 n n n的定义为: n = ∑ j = 1 92 y i n=\sum_{j = 1}^{92} y_{i} n=j=1∑92yi
2、线性加权评价
模型第二问的第一小问是评价合理性。思路是构造一个公式,定量评价每个区的合理性。分别对各区数据代入公式计算,得到各区的得分。如果得分比较悬殊,就认为不是很合理。
原文中是这样构建的:设各个区和全市的服务平台覆盖率为 g g g,做归一化处理后的数据为 g n gn gn;各个区内服务平台工作强度的方差为 s s s,方差的倒数 1 s \frac{1}{s} s1,做归一化处理后的数据为 v n vn vn。综合评价指标为
其中, α α α为权重系数, α ∈ [ 0 , 1 ] α\in[0,1] α∈[0,1]。
这里归一化操作,使用的是最小最大法。
把最小值取为0,把最大值取为1,其它数据记为 x x x,处理后记为 x n xn xn。做如下操作: x n = x − m i n m a x − m i n xn=\frac{x-min}{max-min} xn=max−minx−min
3、权重公式
第二问的第二小问,讨论警力资源在全市六个区范围内的重分配。这里给出了一种考虑多因素确定权重的办法。
方法概括为以下几步:
(1)选择可以合理的指标
(2)一致化处理,通过求倒数等方法,把所有指标变成极大型指标
(3)无量纲化处理,求出每个指标的均值和均方差,统计量减去均值后,再除以均方差。
(4)求不同量纲的权重,先求得每个指标最大值和最小值的差,得到一个向量。在将这个向量归一化后得到权重向量。这篇文章中的操作过程如下:
4、最佳围堵方案
在这篇论文中,最佳围堵方案最终没有编程实现。这个部分以规划形式给出了描述(如下)。
下面探讨一下编程实现的可能性。首先,这个规划的可行域不是连续的,而是离散的,就是说,是有限的。可以参考用蒙特卡洛方法求解整数规划的思想,模拟计算若干次,取最优结果。而模拟过程可以吸取元胞自动机的想法,把时间离散化,把节点距离用离散化的时间表示。每次犯罪者随机选择路径(原文方案二)或者按一定的规则选择路径(原文方案一),动态推演围堵过程。
三、求解方法
这篇文章预先用弗洛伊德算法对点到点的最短距离做了计算。在求解0-1规划时,视问题规模,用了模拟退火算法求解和lingo编程求解。
详见《2011年国赛B题论文求解复现》和《模拟退火算法求解大规模0-1规划》。
参考资料
【1】2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目:B题 交巡警服务平台的设置与调度
【2】姚胜献,许锦敏,刘迪初 《交巡警服务平台的设置与调度》
相关资料
本题题目,数据,获奖论文
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