拉普拉斯，帮我看看这个怎么回事呢？
简 介： 如果把硬币在变化磁场中感应涡流过程看成一个线性时不变系统，经过分析可以知道，它在冲激电磁场内应该所累积的冲量为零。 但考虑到电磁能量使得金属表层温度升高，它成为一个时变系统，此时硬币所受到的冲击力的累积量（冲量）就会出现静升力，从而可以将金属币弹开。建立线圈放电拉普拉斯模型，可以得到对应电流变化波形，通过分析计算获得金属币受力波形。
关键词： 信号与系统，拉普拉斯变换，金属硬币
Contents
§01 冲激磁场
今天（2022-04-28）上午在西瓜视频看到短片 电容放电，金属块为何物飞起来了 中演示高压大电容对线圈放电，产生脉冲磁场如何将一枚硬币弹到高空的情况。
▲ 图1.1 铝质硬币被弹射到高空
根据楞次定律，变化的磁场在金属中产生涡流后，形成磁场作用，推动硬币升空。对于这个现象并不会让人感到奇怪。但出乎我们意料的是：铝质硬币会被电磁脉冲瞬间弹开；而铜质硬币则没有离开电磁线圈。
这是为啥？
▲ 图1.2 铜制硬币则没有被电磁脉冲弹开
难道是铜质硬币太重了吗？
视频制作又更换了一个更大的铝质金属环。 结果随着电磁放电， 更重的铝环被瞬间送上了天空。
▲ 图1.3 更重的铝环被电磁脉冲送上了天空
那么，这其中的道理是什么呢？
今天上午刚刚在信号与系统课程中讲完拉普拉斯变换性质， 如果能够利用拉普拉斯变换来分析这其中的原因，会很有趣的。
§02 问题分析
上述视频中展示的硬币被电磁脉冲弹开，包括两个过程：
- 高压大电容在线圈中放电产生脉冲磁场过程；
- 脉冲磁场在硬币中感应出涡流后产生磁场作用力过程；
下面分别对于这两个过程进行分析。
2.1 高压电容线圈放电
本质上，线圈放电过程会同时受到高压电容放电和硬币感应电流的影响。考虑到硬币本身比较小，感应电流反过来影响线圈放电作用比较小。因此， 分析高压电容在线圈上放电就忽略硬币的影响。
2.1.1 参数假设
视频中没有给出电容、线圈的具体参数，下面只能做初步的假设。
（1）三个高压电容
三个高压电容，假设他们都是 1000 μ F 1000\mu F 1000μF ， 450 V 450V 450V 耐压。所以总容量为 C = 3000 μ F C = 3000\mu F C=3000μF 。
根据 Understanding ESR in electrolytic capacitors 叙述，电解电容的等效串联电阻（ESR）随着温度和频率会发生变化。 在这里对于三个高压电容并联后的等效串联电阻假设为 R C − E S R = 0.5 Ω R_{C - ESR} = 0.5\Omega RC−ESR=0.5Ω 。
▲ 图2.1.1 电路中的各个元器件
（2）放电线圈
用户放电的线圈是一个螺旋线圈，根据桌面蓝色坐标方格比对，它的直径大约为12格子宽度， 现在假设它的直径为 D S p i r a l = 12 c m D_{Spiral} = 12cm DSpiral=12cm 。
去线圈图像中间部分的图片，进行垂直投影，取亮度的变化。如下图所示。 这些变化显示了由于线圈形成的周期波动。
▲ 图2.1.2 线圈以及线圈的匝数
对亮度曲线进行 FFT 变换，获得对应的频谱，如下图所示。 可以看到其中在 N = 50 N = 50 N=50 的地方形成了峰值。 因此，对应线圈变化空间频率为50Hz。（注意：1Hz对应整个图像宽度）。考虑到获取图像两个边缘各自还有大约两个线径宽度的空白，所以图中的线圈条数为 50 − 2 × 2 = 46 50 - 2 \times 2 = 46 50−2×2=46 。因此线圈匝数为 N c o i l = 46 / 2 = 23 N_{coil} = 46/2 = 23 Ncoil=46/2=23 匝。
▲ 亮度曲线对应的FFT变换
from headm import *
import cv2imgid = 10imgfile = tspgetdopfile(imgid)img = cv2.imread(imgfile)
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
avg = mean(gray, 0)printf(len(avg))
fftavg = abs(fft.fft(avg-mean(avg)))printf(avg)
plt.plot(fftavg)plt.xlabel("n")
plt.ylabel("gray")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
根据上面参数，确定螺旋线圈几何参数如下。 根据 Spiral Coil Calculator 网页提供的计算工具，可以得到：
- 线圈电感： L c o i l = 35.79 μ H L_{coil} = 35.79\mu H Lcoil=35.79μH
- 线圈长度：7.8米
- 线圈自身谐振频率： f c o i l = 29.74 k H z f_{coil} = 29.74kHz fcoil=29.74kHz
▲ 图2.1.4 线圈空间参数
由于线圈匝数不多，而且线径比较粗，所以先忽略放电线圈中的等效串联电阻。
2.1.2 电容放电
视频中，电容充电是对220V交流电整流充电。 假设电容充电电压 V C ( 0 − ) = 310 V V_C \left( {0_ - } \right) = 310V VC(0−)=310V 。那么电容在线圈放电回路如下图所示：
▲ 图2.1.5 线圈放电等效电路
根据图中的参数，可以知道放电电流为： I ( s ) = V C ( 0 − 1 ) s ( R C − E S R + s L c o i l + 1 C s ) = V C ( 0 − ) ⋅ C s 2 C L c o i l + s C R C − E S R + 1 I\left( s \right) = {{V_C \left( {0_{ - 1} } \right)} \over {s\left( {R_{C - ESR} + sL_{coil} + {1 \over {Cs}}} \right)}} = {{V_C \left( {0_ - } \right) \cdot C} \over {s^2 CL_{coil} + sCR_{C - ESR} + 1}} I(s)=s(RC−ESR+sLcoil+Cs1)VC(0−1)=s2CLcoil+sCRC−ESR+1VC(0−)⋅C
根据已知参数：
V C ( 0 − ) = 310 V V_C \left( {0_ - } \right) = 310V VC(0−)=310V ， C = 3000 × 1 0 − 6 F C = 3000 \times 10^{ - 6} F C=3000×10−6F ， R C − E S R = 0.5 Ω R_{C - ESR} = 0.5\Omega RC−ESR=0.5Ω ， L c o i l = 35.79 μ H L_{coil} = 35.79\mu H Lcoil=35.79μH ，所以 I ( s ) = 0.93 1.0737 × 1 0 − 7 s 2 + 0.0015 s + 1 I\left( s \right) = {{0.93} \over {1.0737 \times 10^{ - 7} s^2 + 0.0015s + 1}} I(s)=1.0737×10−7s2+0.0015s+10.93 下面是电流波形
▲ 图2.1.6 线圈放电电流波形
可以看到 线圈放电基本上在10ms之内完成， 在 t max = 0.23 μ s t_{\max } = 0.23\mu s tmax=0.23μs 时， 电流达到峰值 I max = 553 A I_{\max } = 553A Imax=553A 。
from headm import *
from scipy import signalC = 3000e-6
Lcoil=35.79e-6
Rcesr = 0.5system = ([310*C], [C*Lcoil, Rcesr*C, 1])
printf(system)
t, y = signal.impulse(system, N=1000)maxid = list(y).index(max(y))
printf(maxid, y[maxid])plt.plot(t, y)plt.xlabel("t")
plt.ylabel("I(t)")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
2.2 硬币受力分析
硬币所受到的电磁力与两个物理量有关系。
- 线圈磁场： 电流在线圈放电，形成磁场 B c o i l = k 1 I ( t ) B_{coil} = k_1 I\left( t \right) Bcoil=k1I(t) ；
- 感应涡流： 硬币中的感应涡流 I c o i n ( t ) = k 2 B c o i l ′ ( t ) I_{coin} \left( t \right) = k_2 B'_{coil} \left( t \right) Icoin(t)=k2Bcoil′(t) ， 与线圈磁场变化率成正比。
硬币受力与上述两个量的乘积成正比： F c o i n ( t ) = k 3 ⋅ B c o i l ( t ) ⋅ I c o i n ( t ) = k 1 k 2 k 3 I c o i l ( t ) ⋅ k 1 I c o i l ′ ( t ) F_{coin} \left( t \right) = k_3 \cdot B_{coil} \left( t \right) \cdot I_{coin} \left( t \right) = k_1 k_2 k_3 I_{coil} \left( t \right) \cdot k_1 I'_{coil} \left( t \right) Fcoin(t)=k3⋅Bcoil(t)⋅Icoin(t)=k1k2k3Icoil(t)⋅k1Icoil′(t)
为了方便分析， 我们假设上述所有的系数 k 1 , k 2 , k 3 k_1 ,k_2 ,k_3 k1,k2,k3 都是1。 根据 I ( s ) I\left( s \right) I(s) 的表达式， I c o i l ′ ( s ) = I c o i l ( s ) ⋅ s I'_{coil} \left( s \right) = I_{coil} \left( s \right) \cdot s Icoil′(s)=Icoil(s)⋅s 。这样可以计算出硬币所受的冲力波形
下图为硬币所受到的冲击力
▲ 硬币所受到的冲击力波形
可以看到，硬币在冲激磁场作用下，它所受到的电磁力包括正负两种力：
- 在电流上升阶段，硬币所感应的电流磁场，根据楞次定理是排斥磁通量增加，所以磁场极性与线圈磁场极性相反，磁场作用力促使硬币离开线圈，所以是升力；
- 在电流下降阶段， 硬币感应的电流磁场应该是组织磁通量减少，所以磁场极性与线圈磁场极性相同，磁场作用力是线圈吸引硬币，所以是下沉力；
为了说明在磁场减小过程中，线圈会吸引硬币下沉，可以通过下面实验验证。 使用强磁铁迅速离开铝质硬币，通过硬币的磁场减小，所以会被磁铁吸引跳起来。
▲ 图2.2.2 快速撤离的磁铁会吸引铝质硬币
如果对硬币所受到的电磁力波形进行积分，可以看到硬币所受到的冲量总和接近于 0， 因此，原则上，硬币不应该出现静升力。那么问题来了：为什么铝质硬币会被电磁脉冲弹开？
2.3 为什么铝硬币被弹开？
根据上面分析，金属硬币所受到的电磁冲击力所产生的冲量应该是0，所以它不会被弹开。 这解释铜质硬币是说得通的。
但对于铝质硬币和铝质金属环，为什么被冲激磁场弹开了呢？
这里，需要对前面过程中的细节进行梳理。由于高压电容放电冲击电流的确非常大，因此硬币所感应产生的涡流电流也十分巨大，必然有一部分电磁能转换成热能，引起硬币表面温度升高，进而引起金属电阻增加。
根据 金属电阻率及其温度系数 ，可以铝和铜的电阻温度系数基本相同，铝的电阻系数稍微大一些。 铝的电阻率比铜高了57%。 根据 金属的导热系数 来看，铜比铝高了近一倍。
因此，在强大的冲击磁场下， 铝币或者铝环的表面温度（产生涡流主要存在金属的表面）会极速升高，并使得涡流降低。 由于升力主要集中在脉冲上升部分，这个时间非常短，因此铝币温度较低，涡流电流大，升力的累积（冲量）大。 但磁场降低过程相对比较缓慢，此时铝币温度升高，使得涡流电流迅速减小，线圈对硬币的吸引力减小。 这样就使得铝币所受到的电磁冲激里的累积冲量就会出现静上升冲量，从而将硬币弹开。
但对于铜币，由于它的电阻较小，散热很快，硬币表层温度变动不大，这样它所受到的电磁冲击力累积接近于 0， 所以没有被弹开。
※ 结 论 ※
如果把硬币在变化磁场中感应涡流过程看成一个线性时不变系统，经过分析可以知道，它在冲激电磁场内应该所累积的冲量为零。 但考虑到电磁能量使得金属表层温度升高，它成为一个时变系统，此时硬币所受到的冲击力的累积量（冲量）就会出现静升力，从而可以将金属币弹开。建立线圈放电拉普拉斯模型，可以得到对应电流变化波形，通过分析计算获得金属币受力波形。
■ 相关文献链接:
- 电容放电，金属块为何物飞起来了
- Understanding ESR in electrolytic capacitors
- Spiral Coil Calculator
- 金属电阻率及其温度系数
- 金属的导热系数
● 相关图表链接:
- 图1.1 铝质硬币被弹射到高空
- 图1.2 铜制硬币则没有被电磁脉冲弹开
- 图1.3 更重的铝环被电磁脉冲送上了天空
- 图2.1.1 电路中的各个元器件
- 图2.1.2 线圈以及线圈的匝数
- 亮度曲线对应的FFT变换
- 图2.1.4 线圈空间参数
- 图2.1.5 线圈放电等效电路
- 图2.1.6 线圈放电电流波形
- 硬币所受到的冲击力波形
- 图2.2.2 快速撤离的磁铁会吸引铝质硬币
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