积分与坐标变换（极坐标）

2024-06-11 19:30:07

1. 极坐标（polar coordinates）

极坐标系考察的是半径与角度的关系。

∫10∫10dxdy=⎡⎣∫π40∫1cosθ0ρdρdθ⎤⎦+⎡⎣∫π2π4∫1sinθ0ρdρdθ⎤⎦

\int_0^1\int_0^1dxdy=\left[\int_0^{\frac\pi4}\int_0^{\frac1{\cos\theta}}\rho d\rho d\theta\right]+\left[\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\int_0^{\frac1{\sin\theta}}\rho d\rho d\theta\right]

对于 [0,π4][0, \frac{\pi}4]，x=ρcosθ=1x=\rho \cos\theta=1，
对于 [π4,π2][\frac{\pi}4,\frac{\pi}2]，y=ρsinθ=1y=\rho\sin\theta=1

对 ρ\rho 进行积分，其物理含义上是放射状，向四周辐射的，从 0 开始，也即积的是一个“扇形”区域，从一个值积到另一个值，则是一个“环形”区域。

2. 双纽线与螺旋线

考虑双纽线，双纽线在几何上定义为一切这样的点 P 的轨迹，点 P 与直角坐标系分别为 x=a,y=0x=a,y=0 和 x=−a,y=0x=-a,y=0 的两个固定点 F1F_1 和 F2F_2 的距离 r1r_1 和 r2r_2 之积为常值 a2a^2

r21=(x+a)2+y2r22=(x−a)2+y2

\begin{split} &r_1^2=(x+a)^2+y^2\\ &r_2^2=(x-a)^2+y^2 \end{split}
经过简单整理运算可得，如下形式的双纽线方程：

(x2+y2)2−2a2(x2−y2)=0

(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=0

经过极坐标变换 x=rcos,y=rsinx=r\cos,y=r\sin，可化简为如下形式：

r2=2a2cos2θ

r^2=2a^2\cos2\theta

双纽线方程在极坐标系下会比在直角坐标系下简单得多，

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