行列式的计算方法

前言
一、对角线法
二、代数余子式法
三、等价转化法
四、逆序数法
总结

前言

提示：本文主要讲述行列式的求解方法，所以本文侧重于方法的讲解，而并非推导。主要思路为从三阶行列式举例，再过渡到高阶行列式的通用方法。

以下是本篇文章正文内容：

一、对角线法

▍以三阶行列式为例：

D3=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣D_3= \left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right| D3=∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣

①将第一、二列平移到行列式右侧
②如图做出六条斜对角线
③对角线上的元素相乘，红色相加的和减去蓝色相加的和

D3=D_3= D3=

a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32

−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} −a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33

对角线法也是三阶行列式计算使用最广泛的方法

▍ 对角线法适用于二、三阶行列式，对于更高阶的行列式暂时未找到规律

二、代数余子式法

▍以三阶行列式为例：

例：D3=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣例：D_3= \left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right| 例：D3=∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣

以第一行展开，得D3=以第一行展开，得D_3= 以第一行展开，得D3=

=(−1)1+1a11M11+(−1)1+2a12M12+(−1)1+3a13M13=\left( -1 \right) ^{1+1}a_{11}M_{11}+\left( -1 \right) ^{1+2}a_{12}M_{12}+\left( -1 \right) ^{1+3}a_{13}M_{13} =(−1)1+1a11M11+(−1)1+2a12M12+(−1)1+3a13M13

=a11∣a22a23a32a33∣−a12∣a21a23a31a33∣+a13∣a21a22a31a32∣=a_{11}\left| \begin{matrix} a_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right|-a_{12}\left| \begin{matrix} a_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\\ \end{matrix} \right|+a_{13}\left| \begin{matrix} a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\\ \end{matrix} \right| =a11∣∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣∣−a12∣∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣∣+a13∣∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣∣

对于任一行（列）都可进行展开

▍例n阶行列式：

Dn=∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣D_n=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right| Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣

以第 i 行展开:

=(−1)i+1ai1Mi1+(−1)i+2ai2Mi2+⋯+(−1)i+nainMin=\left( -1 \right) ^{i+1}a_{i1}M_{i1}+\left( -1 \right) ^{i+2}a_{i2}M_{i2}+\cdots +\left( -1 \right) ^{i+n}a_{in}M_{in} =(−1)i+1ai1Mi1+(−1)i+2ai2Mi2+⋯+(−1)i+nainMin

以第 j 列展开:

=(−1)1+ja1jM1j+(−1)2+ja2jM2j+⋯+(−1)n+janjMnj=\left( -1 \right) ^{1+j}a_{1j}M_{1j}+\left( -1 \right) ^{2+j}a_{2j}M_{2j}+\cdots +\left( -1 \right) ^{n+j}a_{nj}M_{nj} =(−1)1+ja1jM1j+(−1)2+ja2jM2j+⋯+(−1)n+janjMnj

例：∣01021531412∣=(−1)1+2∣3221∣=1例： \left| \begin{matrix} 0& 1& 0\\ 2& 15& 3\\ 1& 41& 2\\ \end{matrix} \right|=\left( -1 \right) ^{1+2}\left| \begin{matrix} 3& 2\\ 2& 1\\ \end{matrix} \right|=1 例：∣∣∣∣∣∣02111541032∣∣∣∣∣∣=(−1)1+2∣∣∣∣3221∣∣∣∣=1

本例中，利用代数余子式法能够简便运算

三、等价转化法

①行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变 ②行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

转化法的核心思想是将行列式转化成上三角行列式

直接举例：

D4=∣3111131111311113∣D_4=\left| \begin{matrix} 3& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right| D4=∣∣∣∣∣∣∣∣3111131111311113∣∣∣∣∣∣∣∣

∣3111131111311113∣=r1+r2+r3+r4∣6666131111311113∣=r1÷66∣1111131111311113∣\left| \begin{matrix} 3& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_1+r_2+r_3+r_4}\left| \begin{matrix} 6& 6& 6& 6\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_1\div 6}6\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right| ∣∣∣∣∣∣∣∣3111131111311113∣∣∣∣∣∣∣∣r1+r2+r3+r4∣∣∣∣∣∣∣∣6111631161316113∣∣∣∣∣∣∣∣r1÷66∣∣∣∣∣∣∣∣1111131111311113∣∣∣∣∣∣∣∣

=r2−r1,r3−r1,r4−r16∣1111020000200002∣=6×1×2×2×2=48\xlongequal{r_2-r_1,r_3-r_1,r_4-r_1}6\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 2\\ \end{matrix} \right|=6\times1\times 2\times 2\times 2=48 r2−r1,r3−r1,r4−r16∣∣∣∣∣∣∣∣1000120010201002∣∣∣∣∣∣∣∣=6×1×2×2×2=48

四、逆序数法

▍以三阶行列式为例
D3=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=∑(−1)ta1p1a2p2a3p3D_3=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right| =\sum{\left( -1 \right) ^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}} D3=∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=∑(−1)ta1p1a2p2a3p3

t为排列 p1p2p3的逆序数t\text{为排列 }p_1p_2p_3\ \text{的逆序数} t为排列 p1p2p3 的逆序数

其中p1、p2、p3≤3，且各不相同其中p_1\text{、}p_2\text{、}p_3\text{≤3，且各不相同} 其中p1、p2、p3≤3，且各不相同

▍对于n阶行列式：

=∑(−1)ta1p1a2p2⋯anpn=\sum{\left( -1 \right) ^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}} =∑(−1)ta1p1a2p2⋯anpn

t为排列 p1p2⋯pn的逆序数t\text{为排列 }p_1p_2\cdots p_n\ \text{的逆序数} t为排列 p1p2⋯pn 的逆序数

其中p1、p2⋯pn≤n，且各不相同其中p_1\text{、}p_2\cdots p_n\text{≤n，且各不相同} 其中p1、p2⋯pn≤n，且各不相同

前三种方法的本质其实都是逆序数法，逆序数法也是行列式求解最基础的方法，但使用起来更加复杂

总结

本文讲述了四种行列式的计算方法：

▍其中对角线法，是使用最简单、最广泛的方法

▍代数余子式法和等价转化法，在特定情况下能极大程度上简便运算，但需要读者对行列式进行灵活地观察

▍逆序数法，是一种更加基础的方法，使用起来比较复杂

提示：以上是本人关于行列式学习的体会，若有错误，欢迎大家批评和交流(*^▽ ^*)/

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