1. 已知离散时间系统的差分方程为：

2y(n) - y(n-1) - 3y(n-2)=2x(n) - x(n-1)

x(n)= u(n) , y(-1)=1,y(-2)=3 , 试用filter函数求系统的零输入响应、零状态响应和全响应.

解：将差分方程Z变换得：

…………………………………….(1)

依题意有：x(-1)=0,x(-2)=0,y(-1)=1,y(-2)=3 ,X(z)=

将上式变形如下：

………..(2)

…………………………….(3)

易得系统函数为H(z)=

① 零输入时

零输入时，x(n)=0,差分方程右边为0，z变换后应为

=

=

将Y(z)进行Z反变换，得到其零输入响应为：

y(n)=

② 零状态时

零状态时，将y(-1)=0,y(-2)=0代入上面的式(2)中，得

Y(z)= X(z)= =

=

将其Z反变换，得到零状态响应为：

y(n)=

③ 全响应

与上面同理，y(-1)=1,y(-2)=3

将上面式(3)变形得：

Y(z)= =

Z反变换得全响应为

Y(n)=

程序代码：

%第二章Z变换第2.12题程序

clear all;close all;

num=[2 -1 0]; %系统函数分子的系数

den=[2 -1 -3]; %系统函数分母的系数

n=0:50;

nl=length(n);

%求零输入响应

y01=[1 3]; %y的初始状态

x01=[0 0]; %x 的初始状态

x1=zeros(1,nl);

zi1=filtic(num,den,y01,x01); %为filter函数准备初始值

y1=filter(num,den,x1,zi1); %求零输入响应

subplot(311);

stem(n,y1,'r.');

title('零输入响应');

grid on;

%求零状态响应

y02=[0 0];

x02=[0 0];

x2=0.5.^n;

zi2=filtic(num,den,y02,x02);

y2=filter(num,den,x2,zi2);

subplot(312);

stem(n,y2,'r.');

title('零状态响应');

grid on;

%求全响应

y03=[1 3];

x03=[0 0];

x3=0.5.^n;

zi3=filtic(num,den,y03,x03);

y3=filter(num,den,x1,zi3);

subplot(313);

stem(n,y3,'r.');

title('全响应');

grid on;

运行结果如下：

2. 已知离散系统的系统函数分别为

(1) (2)

(3) (4)

试用MATLAB实现下列分析过程：

① 求出系统的零极点位置；

② 绘出系统的零极点图，根据零极点图判断系统的稳定性；

③ 绘出系统单位响应的时域波形，并分析系统稳定性与系统单位响应时域特性的关系。

解：程序代码如下：

%%第二章Z变换第2.13题程序

clear all;close all;

%题(1)

a1=[2 0 0 -1]; %系统函数分母的系数

b1=[0 2 -2 -1]; %系统函数分子的系数

p1=roots(a1), %求极点

pa1=abs(p1), %求极点到坐标原点的距离，看它是否大于1,若有一个大于1,

%则系统不稳定；若所有的都小于1，则系统稳定

q1=roots(b1), %求零点

h1=impz(b1,a1); %求单位响应

subplot(421);

zplane(b1,a1);%画零极点图

title('(1)的零极点图');

subplot(425);

stem(h1,'.'); %单位响应的时域波形

grid on;

title('(1)的单位响应的时域波形');

%题(2)

a2=[3 0 0 -1];

b2=[0 0 1 1];

p2=roots(a2),

pa2=abs(p2),

q2=roots(b2),

h2=impz(b2,a2);

subplot(422);

zplane(b1,a1);

title('(2)的零极点图'