应用概率统计-第二章 离散型随机变量
目录
一、随机变量
1、随机变量的定义
2、随机变量的分类
二、离散型随机变量的概率分布
1、分布律
2、分布函数
三、二项分布
1、伯努利概型
2、二项分布
3、两点分布
四、泊松分布
五、超几何分布
六、负二项分布
七、随机变量函数的分布
一、随机变量
1、随机变量的定义
设 W 是试验E的样本空间, 若则称 X ( w) 为 W 上的 随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母x ,h ,z 等表示而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等。
2、随机变量的分类
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。其中，离散型随机变量的所有取值可以一一列举。连续型随机变量有无穷多取值，不能一一列举，充满一个空间。
二、离散型随机变量的概率分布
1、分布律
P(X=xk)=Pk，k=1,2,3......
2、分布函数
分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究 随机变量。
性质：1.单调不减；2、0≤F(X)≤1；3、右连续
三、二项分布
1、伯努利概型
n 重伯努利 (Bernoulli)试验：
- 试验可重复 n 次
- 每次试验只有两个可能的结果
- 每次试验的结果互不影响----称为这 n 次试验是相互独立的
n重Bernoulli试验中事件 A 出现的次数记为X。
2、二项分布
n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试验中发生的次数 , P (A) = p ,若
则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作X~B( n , p )
- 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值。
- 当( n + 1) p ¹ 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]处的概率取得最大值。
3、两点分布
当二项分布中n=1时，符合两点分布。
四、泊松分布
所以，若X ~ B( n, p), 则当n 较大，p 较小, 则可以用泊松分布X ~ π()来近似
- 当λ= 整数时,在λ与λ– 1 处的概率取得最大值。
- 当λ¹ 整数时, 在 [λ]处的概率取得最大值。
五、超几何分布
设有 N 件产品，其中有 M 件次品，现从中任取 n 件，用 X 表示其中的次品数，求其分布律。
N 很大，n 很小时，超几何分布近似于二项分布。
六、负二项分布
n 重Bernoulli 试验中, P (A) = p ,事件A 第r次成功出现在 第X 次试验,则称 X 服从负二项分布：
r=1时，负二项分布变为几何分布：
七、随机变量函数的分布
方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件
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