【期权课堂】第5课 期权价格的平价关系
第5课 期权价格的平价关系
前几课已经介绍了看涨期权，看跌期权的概念和操作，以及其价格的组成（包含内在价值和时间价值）。那么看涨期权和看跌期权的价格之间是不是存在一个什么关系呢，而这些期权的价格和其对应标的物（如股票的价格）又会有什么关系。这一课就给大家介绍期权价格之间的平价关系，以及由其所衍生的一些应用和思考。
对于欧式期权中的行权价格相同的看涨期权和看跌期权来讲，假设投资人构建了一个投资组合，买入一份欧式看涨期权，卖出一份相同的到期日和行权价格的欧式看跌期权。无论资产价格如何，此组合在到期日都将等价于用行权价格买入一份标的资产。因为如果资产价格在到期日高于行权价，那么欧式看涨期权会行权，看跌期权合约价值归0，从而行使权力买入一份标的资产。而如果资产价格低于行权价，那么卖出的欧式看跌期权会行权，看涨期权价值归0，实际也是买入一份标的资产。所以买入一份欧式看涨期权，卖出一份看跌期权的组合现价应该和在到期日以行权价格K买入一份标的资产，也就是以行权价格执行一个远期合约的现价相等。
以下用公式来表述上面的价格关系：
C-P=D (F-K)
上面等式里：
C——欧式看涨期权现价；
P——欧式看跌期权现价；
F——远期合约价格；
K——行权价格；
D——折现因子。这里D=e^（-r•t）。r是无风险回报利率，t是欧式期权距离到期日的时间。
因为远期合约价格与折现因子的乘积即为标的资产的现价。也就是S=D×F。这里S为标的资产的现价。所以上面的公式就可以写成：
C-P=S-D•K
这个等式即为期权价格的平价公式。
可能有些读者对于远期合约接触的比较少。这里也用另外一种方式来解释期权的平价公式。同样对于没有股息的标的资产的具有相同行权价格K和到期日T的欧式看涨期权和看跌期权，通过买入看涨期权，卖出看跌期权构建投资组合。假设标的资产在t时刻的价格为S（t）。根据上面已经陈述的逻辑，在T时刻，无论S（T）价格如何，都将以行权价格买入一份标的资产，这个投资组合所产生的支付价值为S（T）-K。考虑另外一个投资组合2，在初始时刻买入一份标的资产，借入K份金额为1，并且到期日同为T的债券。对于每一份借出的债券，在T时刻需要支付金额1。所以这个组合2在T时刻所产生的支付价值也是S（T）-K。而两个投资组合在时刻T的所产生的支付价值相同，那么此时刻前的任意时刻t，两个组合的价值也应该相同。解释这个逻辑，需要了解一下无套利原则。金融产品在市场的合理价格是一个让市场不存在无风险套利机会的价格。因为一旦套利机会出现，投资者将会以极快的速度实施套利从而使市场又回到无套利机会的均衡状态。好的，那么按照无套利原则，两个投资组合在T时刻价值相同，那么在此时刻前的任意时刻t，组合价值也应该相同。否则只需要在时刻t买入更便宜的组合，卖空贵的投资组合，在T时刻，因为总的投资组合价值将抵消，所以两个组合的在t时刻的差价就成了无风险套利利润。而这违背无风险套利原则。这时，可能部分读者已经发现，买入看涨期权，卖出看跌期权的组合1与买入一份标的资产，借入K份金额为1的组合在时刻t价值相同的等式即为期权平价公式。等式为
C(t)-P(t)=S(t)-K•B(t,T)
其中
B(t,T)=e-r(T-t)
这个等式所反应的意义在于，给定任意时刻的欧式看涨期权，欧式看跌期权价格，标的资产价格，和零息债券价格中的任意三者，都可以通过这个等式算出第四者的价格。如果考虑对于有定期股息（dividend）的股票，这个等式将修正为
C(t)-P(t)=S(t)-K•B(t,T)-D(t)
其中，D（t）为一份资产标的从t时刻到截止日T，所产生的股息的现值。通过以上推导平价公式的方法也很容易理解这个修正的等式。因为组合2中买入了一份标的资产，于是从时刻t到截止日会产生股息。然而买入看涨期权，卖出看跌期权的组合1并不会产生股息，所以在之前的等式右边需要减掉这部分股息的现值D（t）。
一般我们所讨论的期权平价公式都是针对欧式期权，比如像国内第一个期权产品50ETF的期权就是欧式期权。那么对于包括美国股票，ETF和部分指数在内的美式期权又是怎样的呢。下面也向读者大致介绍一下。
假设对于相同标的，同一行权价格和同一截止日，欧式看涨期权的价格为c，美式看涨期权的价格为C，同样所对应的看跌期权价格分别为p和P。标的证券在t时刻的价格为S（t）。显然会有结论是C≥c，P≥p。因为美式期权包含欧式期权的所有特性，并且给投资人更多的权利。根据欧式期权的平价公式（假设没有股息）：
c=S(0)+p-K•e^(-r·T)
因为p≥0，所以c≥S（0）-K•e^（-r·T）并且因为期权的价格一定不会为负，所以有
C≥c≥max (S(0)-K·e^ (-r•T), 0) >S (0)-K
如果考虑看跌期权，同理依照欧式期权的平价公式，就有
p=K·e^（-r·T）-S（0）+c≥max（K·e^（-r·T）-S（0），0）
因为P≥p所以P≥K-S（0）
通过运算总结我们可以得到美式期权的一个不等式关系：
S0-K≤C-P≤S0-Ke-rT
期权平价公式的理论部分基本就为大家讲到这里了。
平价公式对于期权定价的重要性是显而易见的，对于包括国内50ETF期权在内的欧式期权，如果看涨期权和看跌期权的价格不满足平价公式，则存在短期的套利机会。举一个例子，假设对于标的证券A现在的价格为31美元，其对应的3个月到期的行权价格为35美元的欧式看涨期权的价格为8美元，相同到期日行权价格为35美元的欧式看跌期权价格为12美元，并假设价值35的债券现值是30［即K×e（-r×T）=30］。那么根据平价公式，合理的证券A现价应为欧式看涨期权价格-看跌期权价格+债券现值，即为8-12+30=26。但是证券A现在交易价格为31美元，说明现价是高估的。通过以下构建的这个组合，便可实现无风险套利。套利的原则是买进低估产品，卖出或卖空高估的产品。因为证券A现价高估，我们卖空证券A 100股（假定A的期权乘数为100），并且通过买进一份欧式看涨期权，卖出一份看跌期权，并买进价格为30美元的债券，组成组合X来复制证券A的多头。组合X在到期时无论证券A将来的价格如何，都将获得100股A，重新实现之前卖空100股A的平仓。但构建组合X的现金流为-8+12-30=-26，即成本为26×100=2 600。卖空A的价格为31美元一股，所以在到期时无风险实现利润为3 100-2 600=500。
以上便是通过期权平价公式，利用看涨期权和看跌期权的定价失效，来实现套利的一个例子。从现在美国市场和国内市场的现状来讲，美国期权市场的发展已经很成熟，定价非常有效，所以去除掉交易成本之后，能靠期权平价公式实现套利已经变得非常艰难，几乎不可能。国内的期权市场尚在发展阶段，尤其在50ETF期权刚刚发布的时候，市场经常存在可以用计算机捕捉的套利机会。随着市场的慢慢完善，纯粹无风险套利机会也将减少，甚至消失。但是期权平价公式带给我们对于欧式看涨期权和看跌期权价格关系的思考还是非常有价值的。当然，套利只是通过期权实现稳定盈利的一个方式。这个方式的失效并不会影响大局。至于更多的期权盈利方式，会在之后向大家慢慢道来。
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