鸽巢原理（狄利克雷抽屉原理）资料整合

鸽巢原理

（部分内容参考离散数学及其应用原书第7版 [（美）KENNETH H.ROSEN著；徐六通，杨娟，吴斌])

狭义鸽巢原理： 如果K+1个或者更多的物体放在k个盒子里，那么至少有一个盒子包含了两个或者更多的物体。
原理证明：（此处采用反证法）假定k个盒子每个盒子最多包含的物品数量为1个那么总共的个数是k个，与k+1个物体矛盾。
推论： 一个从有k+1甚至更多的元素的集合到k个元素集合的函数 f 不是一对一函数。(一对一函数概念补充：当且仅当对于 f 定义域中的所有a和b有 f(a)= f(b)，蕴含a = b。）
推论证明： 假设f的陪域中的每个元素y都有一个盒子与之对应的x。但是根据题意中的是有k+1个或者更多的元素，因此，这些盒子里有的至少包含2个或者更多的x元素。这说明 f 不是一对一函数。
广义鸽巢原理： 　把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
该原理的另外一种表述：如果N个物体放入k个盒子里，那么至少有一个盒子包含[N/k](取上限，因为此处不好表示，只好用”[ ]"表示，请谅解）
（第一种表述）原理证明：（此处采用反证法）若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。
（第二种表述）原理证明：（此处采用反证法）假设没有一个盒子包含[N/k]多的物体，那么物体的总数是（如图）
事例:
证明：对每个整数n,存在一个数是n的倍数且在它的十进制表示中只出现0和1。
**解答：**令n是正整数，构造n+1个全是1的数，例如1，11,111,1111…让其中的每个数除以n,因为余数只有n种可能，所以必定有两个数有同样的余数，让这两个数相减得到的结果就可以得出整除n并全是十进制表示只有1和0组成的数。
事例：

1). 同年出生的367人中至少有2个人的生日相同。
解：将一年中的365天视为365个抽屉，367个人看作367个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有2人的生日相同. 367/365=1…2,1+1=2.

2). 假设计算机科学实验室有15台工作站和10台服务器。可以用一条电缆直接把工作站连接到服务器。同一时刻只有一条到服务器的直接连接是有效的。我们想保证在任何时刻任何一组不超过10台工作站可以通过直接连接同时访问不同的服务器。尽管我们可以通过将每台工作站直接连接到服务器（使用150条连线），但是达到这个目标所需的最少的直接连接数量是多少呢？
解：将工作站分为编号k=1,2,3,4,5…14,15。服务器编号为1，2，3…9,10。那么我们可以假设将前10台工作站先连接到10台服务器，然后将剩下的11，12，13，14，15再连接到10台服务器，总共60条直接连线。证明一下：如果没有60条连线，假设最多有59条连线，那么有一台服务器至多连接在5台工作站。这就意味着剩下的9台服务器要连接10台工作站，这明显不够用了。因此，至少需要60条直接连线，即证。
鸽巢原理的经典运用 (来源于离散数学及其应用原书第7版 [（美）KENNETH H.ROSEN著；徐六通，杨娟，吴斌])
例一： 在边长为1的三角形放5个点，至少有两个点之间的距离<=1/2。
解析：将一个三角形分为4个三角形，在四个三角形中放5个点，则至少有两个点在同一个三角形中，这两个点之间的距离最长为1/2，得证。
例二： 某次会议n位代表参加，至少有两个人认识的人数相等。注意认识是相互的。
解析：首先讨论每个人都至少认识一个人的情况，这种情况下，认识的人数为1到n-1.参加会议的人数n得证。
假设有人一个人都不认识，这时剩下的人中认识的人的个数只能是1到n-2,人数为n-1.依次类推，知道将所有一个人都不认识的alone people消掉，就产生鸽巢原理的情况。
例三： 在30天的一个月里，某棒球队一天至少打一场比赛，但至多打45场比赛。证明一定有连续的若干天内这个队恰好打了14场。
解析： 令Ai是在这个月的第 j 天或第 j 天之前所打的场数。则A1,A2,A3…A30是不同正整数的一个递增序列，其中1<=Ai<=45。而且A1+14,A2+14…A30+14也是不同正整数的递增序列，其中15<=Ai+14<=59.
60个正整数A1,A2,A3…A30,A1+14…A30+14一共60个数全都小于等于59。因此，由鸽巢原理可得，有两个正整数相等。因为正整数A1,A2…A30都不一样，并且A1+14,A2+14…A30+14也不相同，所以存在下标使得Ai ==Aj+14。这意味着从第 j+1 天到第 i 天恰好打了14场比赛。
例四： 证明在不超过2n的任意n+1个正整数中一定存在一个正整数被令一个正整数整除。（图片摘抄自离散数学及其应用原书第7版 [（美）KENNETH H.ROSEN著；徐六通，杨娟，吴斌]）

例五： （图片摘抄自离散数学及其应用原书第7版 [（美）KENNETH H.ROSEN著；徐六通，杨娟，吴斌]）
拉姆齐数：
在组合数学上，拉姆齐(Ramsey)定理是要解决以下的问题:要找这样一个最小的数n ，使得n个人中必定有k个人相识或l个人互不相识。
拉姆齐定理的通俗表述 : 6 个人中至少存在3人相互认识或者相互不认识。该定理等价于证明这6个顶点的完全图的边，用红、蓝二色任意着色，必然至少存在一个红色边三角形，或蓝色边三角形。
**验证推导：**首先，把这6个人设为A、B、C、D、E、F六个点。由A点可以引出AB、AC、AD、AE、AF五条线段。设：如果两个人认识，则设这两个人组成的线段为红色；如果两个人不认识，则设这两个人组成的线段为蓝色。
由抽屉原理可知：这五条线段中至少有三条是同色的。不妨设AB、AC、AD为红色。若BC或CD为红色，则结论显然成立。若BC和CD均为蓝色，则若BD为红色，则一定有三个人相互认识；若BD为蓝色，则一定有三个人相互不认识

（摘自百度百科）
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