哈夫曼树

一、定义

哈夫曼树，又称最优树，是一类带权路径长度最短的树。首先有几个概念需要清楚：

1、路径和路径长度

从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成两个结点的路径，路径上的分支数目叫做路径长度。树的路径长度是从树根到每一个结点的路径长度之和。

2、带权路径长度

结点的带权路径长度为从该结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和，通常记作WPL。
若有n个权值为w1,w2,…,wn的结点构成一棵有n个叶子结点的二叉树，则树的带权路径最小的二叉树叫做哈夫曼树或最优二叉树。

在上图中，3棵二叉树都有4个叶子结点a、b、c、d，分别带权7、5、2、4，则它们的带权路径长度为
（a）WPL = 7x2 + 5x2 + 2x2 + 4x2 = 36
（b）WPL = 4x2 + 7x3 + 5x3 + 2x1 = 46
（c）WPL = 7x1 + 5x2 + 2x3 + 4x3 = 35
其中（c）的WPL最小，可以验证，（c）恰为哈夫曼树。

二、哈夫曼树的创建与最优性证明

1.创建

假设有n个结点，n个结点的权值分别为w1<=w2,…,<=wn，构成的二叉树的集合为F={T1,T2,…,Tn}，则可构造一棵含有n个叶子结点的哈夫曼树。步骤如下：
（1）从F中选取两棵根结点权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树，其新的二叉树的权值为其左右子树根结点权值之和；
（2）从F中删除上一步选取的两棵二叉树，将新构造的树放到F中；
（3）重复（1）（2），直到F只含一棵树为止。

2.最优性证明

条件：有TnT_nTn为带权w1≤w2≤...≤wn(n≥2)w_1\leq w_2\leq ... \leq w_n(n\geq 2)w1≤w2≤...≤wn(n≥2)的最优树。
试证明：
Q1：带权w1、w2w_1、w_2w1、w2的树叶Vw1、Vw2V_{w_1}、V_{w_2}Vw1、Vw2是兄弟，以树叶Vw1、Vw2V_{w_1}、V_{w_2}Vw1、Vw2为孩子的分支点，其通路长度最长。
Q2：最优树的收缩与展开形成的树仍为最优树。
Q5：两颗最优树合并仍为最优树。
Q4：哈夫曼树是最优树。
（1）证明：设通路长度最长的的分支点为VLmaxV_{L_{max}}VLmax，则VLmaxV_{L_{max}}VLmax一定有两个叶子节点。
因为VLmaxV_{L_{max}}VLmax是通路长度最长的的分支点，则其子节点必为叶子节点。假设VLmaxV_{L_{max}}VLmax只有一个叶子节点，VxV_xVx，则可以用子节点VwxV_{w_x}Vwx代替分支节点VLmaxV_{L_{max}}VLmax得到新树Tn∗T_{n}^*Tn∗，则有：
W(Tn∗)=W(Tn)−wxW(T_{n}^*) = W(T_n) - w_xW(Tn∗)=W(Tn)−wx 推出W(Tn∗)<W(Tn)W(T_{n}^*) < W(T_n)W(Tn∗)<W(Tn)，与有TnT_nTn为最优树相矛盾。
（2）证明：VLmaxV_{L_{max}}VLmax的两个叶子节点的一定为Vw1、Vw2V_{w_1}、V_{w_2}Vw1、Vw2。
假设VLmaxV_{L_{max}}VLmax节点的两个子节点Vwx、VwyV_{w_x}、V_{w_y}Vwx、Vwy不是Vw1V_{w_1}Vw1（w1<wx,wyw_1<{w_x,w_y}w1<wx,wy）,则将Vwx与Vw1V_{w_x}与V_{w_1}Vwx与Vw1互换得到新树Tn∗T_{n}^*Tn∗，令两棵树除去Vwx与Vw1V_{w_x}与V_{w_1}Vwx与Vw1节点，剩余部分带权路径长度为W(Tn−x−1)W(T_{n-x-1})W(Tn−x−1)，则有：
W(Tn)=W(Tn−x−1)+(Lmax+1)∗wx+L1∗w1W(T_n) =W(T_{n-x-1}) + (L_{max} + 1)*w_x + L_1 * w_1W(Tn)=W(Tn−x−1)+(Lmax+1)∗wx+L1∗w1W(Tn∗)=W(Tn−x−1)+(Lmax+1)∗w1+L1∗wxW(T_n^*) =W(T_{n-x-1}) + (L_{max} + 1)*w_1 + L_1 * w_xW(Tn∗)=W(Tn−x−1)+(Lmax+1)∗w1+L1∗wx两式相减得：W(Tn)−W(Tn∗)=(wx−w1)∗(Lmax−L1+1)>0W(T_n)-W(T_n^*) = (w_x-w_1)*(L_{max}-L_1+1)>0W(Tn)−W(Tn∗)=(wx−w1)∗(Lmax−L1+1)>0与条件TnT_nTn为最优树冲突。故有：VLmaxV_{L_{max}}VLmax的一个叶子节点必为Vw1V_{w_1}Vw1。在此条件下，同理可证Vw2V_{w_2}Vw2是其另一个子节点。
综合(1)(2)，Q1得证。
（3）证明：将Vw1、Vw2V_{w_1}、V_{w_2}Vw1、Vw2两个叶子节点收缩得到新树Tn−1∗（wLmax=w1+w2）T_{n-1}^*（w_{L_{max} } = w_1+w_2）Tn−1∗（wLmax=w1+w2），令带权为{w3、w4....wn、w1+w2w_3、w_4....w_n、w_1+w_2w3、w4....wn、w1+w2}的最优树为Tn−1T_{n-1}Tn−1,反向展开得到的树为Tn∗T_n^*Tn∗。则有：W(Tn)=W(Tn−1∗)+(w1+w2)W(T_n)=W(T_{n-1}^*)+(w_1+w_2)W(Tn)=W(Tn−1∗)+(w1+w2)W(Tn−1)=W(Tn∗)−(w1+w2)W(T_{n-1})=W(T_n^*)-(w_1+w_2)W(Tn−1)=W(Tn∗)−(w1+w2)整理得：W(Tn)−W(Tn∗)+W(Tn−1)−W(Tn−1∗)=0W(T_n)-W(T_{n}^*)+W(T_{n-1})-W(T_{n-1}^*)=0W(Tn)−W(Tn∗)+W(Tn−1)−W(Tn−1∗)=0因为Tn、Tn−1T_n、T_{n-1}Tn、Tn−1是最优树，当且仅当W(Tn)=W(Tn−1∗)且W(Tn−1)=W(Tn−1∗)W(T_n) = W(T_{n-1}^*)且W(T_{n-1}) = W(T_{n-1}^*)W(Tn)=W(Tn−1∗)且W(Tn−1)=W(Tn−1∗)时等式成立。即Tn∗、Tn−1∗T_n^*、T_{n-1}^*Tn∗、Tn−1∗也是最优树。
目前有结论：最优树从最远分支点的两个子叶支点收缩，得到的新树认为最优树。最优树可以继续收缩，依次类推直到节点数为1，按照收缩反向展开仍成立（其他展开方式不一定成立）。
（4）证明：两棵最优树合并仍为最优树。
将两棵树分别收缩至一个节点，再次收缩至一共一个节点，然后各自按照收缩方向反向展开，得到合并的树仍为最优树。
（5）哈夫曼树的创建过程就是最优树的合并过程，所以为最优树。

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