经典算法09 堆排序

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简介

堆排序和简单选择排序一样属于选择排序

简单排序：每一趟在待排序的元素中选取关键字最小（或最大）的元素加入有序子序列

堆排序：每一趟将堆顶元素加入有序子序列(与待排序序列中的最后一个元素交换)并将待排序元素序列再次调整为大根堆（小元素不断“下坠”）

堆排序基于一个叫做堆的数据结构，所以我们先看什么是堆

堆

定义：

若n个关键字序列L[1…n〕满足下面某一条性质，则称为堆 (Heap)
①若满足：L(i)≥L(2i)且L≥l(2i+1) (1≤i≤n/2)—— 大根堆（大顶堆）
②若满足：L（i）≤L（2i）且L(i)≤L(2i+1) (1≤i ≤n/2)——小根堆（小顶堆)

可以结合完全二叉树的顺序存储来理解，即大根堆位完全二叉树中，根大于等于左和右的情况，小根堆位根小于等于左右节点情况，如下图所示
（图片来自王道考研）

大根堆

在我们知道了堆的概念之后，我们所需要做的就是对于所给出的初始序列，建立大根堆，即把所有非终端节点都检查一遍，是否满足大根堆的要求，如果不满足，则进行调整

分析：

给定初始序列，在顺序存储的完全二叉树中，非终端节点编号i<=[n/2]
（图片来自王道考研）

首先，先处理四号节点，，检查当前节点是否满足根>=左、右，若不满足，将当前节点与更大一个孩子互换，他只有一个孩子即和31进行互换

接着看三号节点，孩子的下标为2i，2i+1即6和7，78大于67但小于87，不符合大根堆特性，即78和87互换
（图片来自王道考研）

接下来处理二号节点，17小于32，也小于45，我们选择更大的45与17互换，如果换32，45大于32，不符合大根堆的特性
（图片来自王道考研）

最后处理一号节点，87更大，所以互换
（图片来自王道考研）

此时问题发生了，53下落以后，导致下一层的子树不符合大根堆的要求，此时我们需要继续调整，是53和78互换
（图片来自王道考研）

##代码实现

//建立大根堆
void BuildMaxHeap(int A[], int len){for(int i=len/2;i>0;i--)
HeadAdjust (A, i, len); //从后往前调整所有非终端结点
}
//将以 k 为根的子树调整为大根堆
void HeadAdjust(int All, int k, int len){A[0]=A[k]; //A[0]暂存子树的根结点
for(int i=2*k;i<=len; i*=2){ //取key较大的子结点向下筛选
if(i<len&&A[i]<A[i+1])
i++;          //取key较大的子结点的下标
if(A[0]>=A[i])
break; //筛选结束
else{A[k]=A[i]:     //将Ard]调整到双亲结点上
k=i;       //修改k值，以便继续向下筛选
}
A[k]=A[0]: //被筛选结点的值放入最终位置
}

##基于大根堆进行排序

堆排序：每一趟将堆顶元素加入有序子序列(与待排序序列中的最后一个元素交换）

分析：

基于上述，我们建立了大根堆如下图所示
（图片来自王道考研）

我们需要将09和87进行交换，87换到了末尾，87不需要进行变动了

（图片来自王道考研）

此时09到了堆顶，上面的一部分已经不是一个大根堆了，所以我们需要对09进行下坠，09的右孩子大，所以和78进行互换，再和65进行互换

（图片来自王道考研）

此时，上面部分又成了大根堆，和上面一样，将堆顶的元素和末尾的元素进行交换
（图片来自王道考研）

此时53到了堆顶，又不满足大根堆的特性，所以继续上述的操作，将剩余部分变成大根堆
（图片来自王道考研）

第三趟，堆顶元素65和堆底元素09进行互换，09继续下坠形成大根堆
（图片来自王道考研）

第四趟，堆顶元素53和堆底元素17进行互换，17继续下坠形成大根堆
（图片来自王道考研）

第五趟，堆顶元素45和堆底元素17进行互换，17继续下坠形成大根堆
（图片来自王道考研）

第六趟，堆顶元素32和堆底元素09进行互换，09继续下坠形成大根堆
（图片来自王道考研）

第七趟，堆顶元素17和堆底元素09进行互换，此时已经完成，不需要进行调整了
（图片来自王道考研）

对于n个元素的序列，我们进行了n-1趟的处理，得到递增的序列

如果使用小根堆，则得到递减的序列

基于大根堆进行排序（代码）

//建立大根堆
void BuildMaxHeap(int A[], int len)//将以 k 为根的子树调整为大根堆
void HeadAdjust (int A[],int k, int len)//堆排序的完整逻辑
void HeapSort (int A[], int len){BuildMaxHeap (A, len);      //初始建堆
for(int i=len;i>1;i--){     //n-1趟的交换和建堆过程
swap(A[i],A[1]) ;                   //堆顶元素和堆底元素交换
HeadAdjust (A,1, i-1) ; //把剩余的待排序元素整理成堆
}
}

算法效率分析：

结论：一个结点，每“下坠”一层，最多只需对比关键宇2次
若树高为h，某结点在第i层，则将这个结点向下调整最多只需要“下坠”h-i层，关键字对比次数不超过 2(h-i）
（图片来自王道考研）

故建堆的过程，关键字对比次数不超过4n，建堆时间复杂度=O（n）
（图片来自王道考研）

空间复杂度=O（1）

稳定性：不稳定

总结：
（图片来自王道考研）