斐波拉契数列的三种解法

斐波那契数列: f(n)=f(n-1)+f(n-2); n>=2
f(0)=0; f(1)=1;
即有名的兔子繁衍问题。
斐波那契数列共有三种解法，因而写这篇文章总结一下。
1. 递归求解
递归求解比较简单，是大家常见的一种解法。

int fibonacci(int n)
{cout<<"calculating "<<n<<endl;if (n<=0) {return  0;}if (n==1) {return 1;}return fb(n-1)+fb(n-2);
}

关于这种解法，不再赘述，下面主要说下时间复杂度分析。
设f(n)为参数为n时的时间复杂度，很明显：f(n)=f(n-1)+f(n-2)
这就转化为了数学上的二阶常系数差分方程，并且为其次方程。
即转化为了求f(n)的值，f(n)=f(n-1)+f(n-2)且f(0)=0; f(1)=1;
特征方程为：x^2-x-1=0
得 x=(1±√5)/2
因而f(n)的通解为:

由f(0)=0; f(1)=1可解得c_1，c_2
最终可得，时间复杂度为：

2. 第一种解法比较简单，但是多个元素重复计算，因而时间复杂度较高，为了避免重复计算，可进行循环计算减少时间复杂度

    int Fibonacci(int n) {if (n<=0) {return 0;}if (n==1) {return 1;}int min=0;int max=1;int i=2;int result=0;while (i<=n) {result=min+max;min=max;max=result;++i;}return result;}

第二种算法时间复杂度为O(n)
3. 还有一种时间复杂度更低的算法。
根据上面的递归公式，我们可以得到

因而计算f(n)就简化为了计算矩阵的(n-2)次方，而计算矩阵的(n-2)次方，我们又可以进行分解，即计算矩阵(n-2)/2次方的平方，逐步分解下去，由于折半计算矩阵次方，因而时间复杂度为O(log n)
具体代码实现如下：

//
//  main.cpp
//  fibonaccimatrix
//
//  Created by shunagao on 15/8/31.
//  Copyright © 2015年 shunagao. All rights reserved.
//#include <iostream>
using namespace std;class Matrix
{
public:int n;int **m;Matrix(int num){m=new int*[num];for (int i=0; i<num; i++) {m[i]=new int[num];}n=num;clear();}void clear(){for (int i=0; i<n; ++i) {for (int j=0; j<n; ++j) {m[i][j]=0;}}}void unit(){clear();for (int i=0; i<n; ++i) {m[i][i]=1;}}Matrix operator=(const Matrix mtx){Matrix(mtx.n);for (int i=0; i<mtx.n; ++i) {for (int j=0; j<mtx.n; ++j) {m[i][j]=mtx.m[i][j];}}return *this;}Matrix operator*(const Matrix &mtx){Matrix result(mtx.n);result.clear();for (int i=0; i<mtx.n; ++i) {for (int j=0; j<mtx.n; ++j) {for (int k=0; k<mtx.n; ++k) {result.m[i][j]+=m[i][k]*mtx.m[k][j];}   }}return result;}
};
int main(int argc, const char * argv[]) {unsigned int num=2;Matrix first(num);first.m[0][0]=1;first.m[0][1]=1;first.m[1][0]=1;first.m[1][1]=0;int t;cin>>t;Matrix result(num);result.unit();int n=t-2;while (n) {if (n%2) {result=result*first;}first=first*first;n=n/2;}cout<<(result.m[0][0]+result.m[0][1])<<endl;return 0;
}

斐波拉契数列的三种解法相关推荐

斐波拉契数列 Java三种实现
对于很多Java初学者来说,求解斐波拉契数列,基本上所使用的方式都是递归.对于求解斐波拉契数列来说,递归的实现方式的效率是极其低下的. 在此,我贴出三种实现(递归,迭代,动态规划): 我们先看代码的执 ...
斐波拉契数列的三种实现方法
百度解释斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为"兔子 ...
C语言--斐波那契数列（三种方法）
文章目录一·介绍二·代码实现 1·递归实现 2·迭代实现 3·数组实现一·介绍斐波那契数列,就是前两个数是1,之后从第三个数开始等于前面两个数的和,请用代码方式求出第n个斐波那契数列的大小. ...
剑指Offer #07 斐波那契数列（四种解法）| 图文详解
题目来源:牛客网-剑指Offer专题题目地址:斐波那契数列题目描述大家都知道斐波那契数列,现在要求输入一个整数n,请你输出斐波那契数列的第n项(从0开始,第0项为0).n<=39 题目解析 ...
蒟蒻君的数学学习之路1：斐波那契数列的n种解法
文章目录 ⭐前言 ⭐一. 递推
c语言编程斐波那契前n项,c语言：写一个函数，输入n，求斐波拉契数列的第n项（5种方法，层层优化）...
写一个函数,输入n,求斐波拉契数列的第n项. 斐波拉契数列:1,1,2,3,5,8...,当n大于等于3时,后一项为前面两项之和. 解:方法1:从斐波拉契数列的函数定义角度编程 #include in ...
python 函数 1.1 斐波拉契数列：这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
题目: 已知斐波拉契数列的前两项都是1,我们定义求斐波拉契数列的第n项(n<=50)的函数为fbnq,程序主体如下: n=int(input("")) print(fbnq ...
C语言数据结构----递归的应用（斐波拉契数列、汉诺塔、strlen的递归算法）
本节主要说了递归的设计和算法实现,以及递归的基本例程斐波拉契数列.strlen的递归解法.汉诺塔和全排列递归算法. 一.递归的设计和实现 1.递归从实质上是一种数学的解决问题的思维,是一种分而治之的思 ...
c语言n次方怎么输入_C语言实现斐波拉契数列
C语言实现斐波拉契数列教程怎么使用 C 语言实现计算斐波拉契数列的第 N 项的值? C语言实现斐波拉契数列详解背景知识斐波那契数列是一组第一位和第二位为 1,从第三位开始,后一位是前两位和的一组 ...

斐波拉契数列的三种解法

斐波拉契数列的三种解法相关推荐

最新文章

热门文章