一道2023年数学分析真题

这道题是这样的： f ( x ) = sin ⁡ 6 x + cos ⁡ 6 x f(x)=\sin^6x+\cos^6x f(x)=sin6x+cos6x，求 f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x).
计算过程比较简单：
sin ⁡ 6 x + cos ⁡ 6 x = ( sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x ) ( sin ⁡ 4 x + cos ⁡ 4 x − sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x ) （立方和公式 ) = sin ⁡ 4 x + cos ⁡ 4 x − sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x （ sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x = 1 ) = ( sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x ) 2 − 3 sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x （和的平方公式 ) = 1 − 3 sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x （ sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x = 1 ) = 1 − 3 4 sin ⁡ 2 2 x （倍角公式 ) \begin{aligned} \sin^6x+\cos^6x&=(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x+\cos^4x-\sin^2x\cos^2x) &（立方和公式)\\ &=\sin^4x+\cos^4x-\sin^2x\cos^2x&（\sin^2x+\cos^2x=1)\\ &=(\sin^2x+\cos^2x)^2-3\sin^2x\cos^2x&（和的平方公式)\\ &=1-3\sin^2x\cos^2x&（\sin^2x+\cos^2x=1)\\ &= 1 - \frac{3}4\sin^22x&（倍角公式) \end{aligned}\\ sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x+cos4x−sin2xcos2x)=sin4x+cos4x−sin2xcos2x=(sin2x+cos2x)2−3sin2xcos2x=1−3sin2xcos2x=1−43sin22x（立方和公式)（sin2x+cos2x=1)（和的平方公式)（sin2x+cos2x=1)（倍角公式)
现在前面的1不用管，那么只剩下 − 3 4 sin ⁡ 2 2 x - \frac{3}4\sin^22x −43sin22x了。这个 − 3 4 - \frac{3}4 −43也暂时踢出去，那么就剩下 sin ⁡ 2 2 x \sin^22x sin22x了。对于这个，可以用下面的公式：
sin ⁡ 2 2 x = 1 − cos ⁡ 4 x 2 = 1 2 − 1 2 cos ⁡ 4 x \begin{aligned} \sin^22x=\frac{1-\cos4x}{2}=\frac{1}2-\frac{1}2\cos4x & \end{aligned} sin22x=21−cos4x=21−21cos4x
前面的 − 1 2 -\frac{1}2 −21先不管，直接求 cos ⁡ 4 x \cos4x cos4x的n阶导数：
d n cos ⁡ 4 x d x n = 4 n cos ⁡ ( 4 x + n π 2 ) \frac{d^n\cos4x}{dx^n}=4^n\cos(4x+\frac{n\pi}2) dxndncos4x=4ncos(4x+2nπ)
所以有：
d n sin ⁡ 2 2 x d x n = − 1 2 4 n cos ⁡ ( 4 x + n π 2 ) \frac{d^n\sin^22x}{dx^n}=-\frac{1}24^n\cos(4x+\frac{n\pi}2) dxndnsin22x=−214ncos(4x+2nπ)
再代回去：
d n ( 1 − 3 4 sin ⁡ 2 2 x ) d x n = 3 8 4 n cos ⁡ ( 4 x + n π 2 ) \frac{d^n(1 - \frac{3}4\sin^22x)}{dx^n}=\frac{3}84^n\cos(4x+\frac{n\pi}2) dxndn(1−43sin22x)=834ncos(4x+2nπ)
所以最后结果为：
d n ( sin ⁡ 6 x + cos ⁡ 6 x ) d x n = 3 8 4 n cos ⁡ ( 4 x + n π 2 ) \frac{d^n(\sin^6x+\cos^6x)}{dx^n}=\frac{3}84^n\cos(4x+\frac{n\pi}2) dxndn(sin6x+cos6x)=834ncos(4x+2nπ)

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