关于展频和小数分频的理论原理和实践

如果一个以 $T$ 为周期的函数 $f(x)$ 在

$\bigg[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\bigg]$

上满足狄利克雷条件，即:

1.除去有限个第一类间断点外，处处连续

2.分段单调，单调区间的个数有限

则 $f(x)$ 的fourier级数表示为：

$f(t)\approx \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0t)\bigg]$

在

$\bigg[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\bigg]$

上处处收敛，且在 $f(x)$ 的连续点处收敛于 $f(t)$ , 其中，

$\omega_0 =\frac{2\pi}{T}$

对上式两边求积分：

$\\ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\bigg(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0t)\bigg]\bigg) dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{a_0}{2}dt\\=\frac{a_0}{2}\cdot T$

所以:

$a_0=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt$

对于 $\\ (m=1,2,3,\cdots)$

$\\ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)cos(m\omega_0t)dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\bigg(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0t)\bigg]\bigg)cos(m\omega_0t) dt\\=0+a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}cos^2(n\omega_0t)dt=a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1+cos(2n\omega_0t)}{2}dt=a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1}{2}dt +a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(2n\omega_0 t)}{2}dt\\=a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1}{2}dt +a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(2n\omega_0 t)}{4n\omega_0}d(2n\omega_0 t)=\frac{a_n}{2}\bigg|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}+\frac{a_n}{4n\omega_0}sin(2n\omega_0t)\bigg|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\\=a_n\cdot \frac{T}{2}+0$

所以:

$\\a_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)cos(n\omega_0 t)dt \quad(n=1,2, 3,\cdots)$

$\\ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)sin(m\omega_0t)dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\bigg(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0t)\bigg]\bigg)sin(m\omega_0t) dt\\=0+b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}sin^2(n\omega_0t)dt=b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1-cos(2n\omega_0t)}{2}dt=b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1}{2}dt -b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(2n\omega_0 t)}{2}dt\\=b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1}{2}dt - b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(2n\omega_0 t)}{4n\omega_0}d(2n\omega_0 t)=\frac{b_n}{2}\bigg|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}-\frac{b_n}{4n\omega_0}sin(2n\omega_0t)\bigg|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\\=b_n\cdot \frac{T}{2}+0$

所以：

$\\b_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)sin(n\omega_0 t)dt \quad(n=1,2, 3,\cdots)$

综上：

$a_0=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt$

$\\a_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)cos(n\omega_0 t)dt \quad(n=1,2, 3,\cdots)$

$\\b_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)sin(n\omega_0 t)dt \quad(n=1,2, 3,\cdots)$

在电子通信领域，常常利用欧拉公式：

$cos(t)=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}$

$sin(t)=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$

所以：

$\\f(t)\approx \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0 t)\bigg]\\=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[ \frac{a_n}{2}(e^{in\omega_0 t}+e^{-in\omega_0 t})-i\cdot \frac{b_n}{2}(e^{in\omega_0 t}-e^{-in\omega_0 t})\bigg]\\=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[ \frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega_0 t}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega_0 t}\bigg]$

令：

$c_0=\frac{a_0}{2}$

$c_n=\frac{a_n-ib_n}{2}$

$c_{-n}=\frac{a_n+ib_n}{2}$

得到fourier级数的复指数形式：

$\\f(t)\approx\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[ \frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega_0 t}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega_0 t}\bigg]\\= c_0+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg(c_ne^{in\omega_0 t} + c_{-n}e^{-in\omega_0 t}\bigg)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{in\omega_0 t}$

这里面：

$C_0=\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt$

$\\C_n=\frac{a_n-ib_n}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{T}\bigg[\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)cos(n\omega_0 t)dt-i\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)sin(n\omega _0 t)dt\bigg] \\=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)\bigg[cos(n\omega_0 t)-isin(n\omega_0 t)\bigg]dt=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt \quad (n=1,2, 3, \cdots)$

同理:

$C_{-n}=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{in\omega_0 t}dt \quad (n=1,2, 3, \cdots)$

上面的 $C_0, C_{-n},C_n$ 写为统一的形式为：

$C_{n}=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt \quad (n=0,\pm1,\pm2, \pm3, \cdots)$

令

$\omega _n=n\omega_0 \quad (n=0,\pm1,\pm2, \pm3, \cdots)$

则综合上面各式，可得:

$\mathbf{f(t)\approx\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty }^{\infty}\bigg[ \int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{-i\omega _nt}dt\bigg]e^{i\omega _n t}}$

拆分后得到傅里叶级数形式：

$\\\mathbf{ F(n )=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt \quad (n \in Z)}$

$\\\mathbf{f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }F(n)\cdot e^{in\omega_0 t}\quad (n \in Z)}$

傅里叶级数推导出非周期信号的傅里叶变换：

$\\f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }F(n)\cdot e^{in\omega_0 t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\\=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}$

当 $T\rightarrow \infty$ 时，周期信号变为非周期信号,由于 $\omega_0 =\frac{2\pi}{T}$ ，　傅里叶级数为：

$\\ \lim_{T \to \infty }f(t)=\lim_{T \to \infty }\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\\=\lim_{T \to \infty }\frac{\omega_0}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\\=\lim_{T \to \infty }\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\cdot \omega_0$

当 $T\rightarrow \infty$ 时候， $\Delta \omega =n\omega_0 - (n-1)\omega_0=\omega_0\rightarrow 0$

根据微积分的微元法，外面的累加可以看成求底边为 $\omega_0$ ,高为

$\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}$

的图形的面积：

所以：

$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt \qquad (-\infty<\omega< \infty )$

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega \qquad (-\infty<\omega< \infty )$

一个真实的时钟信号傅里叶级数变换的例子：

此函数的解析式是：

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 \qquad x>-\frac{T}{2}\ and \ x < -\tau \\ 1 \qquad \ \ x >-\tau \ and \ x < \tau\\ 0 \qquad \ \ \ \ x > \tau \ and \ x < \frac{T}{2} \end{matrix}\right.$

$\\ a_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx =\frac{1}{T}\int_{-\tau}^{\tau}1\cdot dx = \frac{1}{T}\int_{-\tau}^{\tau}1\cdot dx\\=\frac{1}{T}\bigg|^{\tau}_{-\tau}=\frac{2\tau}{T}$

$\\ b_n =0$

$\\ a_n =\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{-\frac{T}{2}}f(x)cos(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)dx=\frac{2}{T}\int_{-\tau}^{\tau}1\cdot cos(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)dx \\=\frac{T}{2n\pi}\cdot \frac{2}{T}\int_{-\tau}^{\tau}1\cdot cos(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)d(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)=\frac{1}{n\pi}sin(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)\bigg|_{-\tau}^{\tau}=\frac{2sin(\frac{2n\pi \tau}{T})}{n\pi}$

函数图形为：

python代码：


# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Feb  1 13:57:21 2021
@author: czl
"""
from pylab import *x = mgrid[-20:20:0.01]def fourier_wave():a0 = 3/16s=a0for n in range(1,1000,1):bn = 0an = 2*sin((2*n*pi*1.5/16))/(n*pi)s0 = an*cos(n*x*(2*pi/16))+bn*sin(n*x*(2*pi/16))s=s+s0plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)title('fourier_transform')show()    fourier_wave()

复指数形式的傅里叶变换系数是：

$f(n\omega_0)=\frac{a_n-ib_n}{2}=\frac{a_n}{2}=\frac{sin(\frac{2n\pi \tau}{T})}{n\pi}$

$f(n\cdot \frac{2\pi}{T})=\frac{sin(\frac{2n\pi \tau}{T})}{n\pi}$

密度谱：

$T\cdot f(n\cdot \frac{2\pi}{T})=2\tau \cdot \frac{sin(\frac{2n\pi \tau}{T})}{\frac{2n\pi\tau}{T}}$

当 $T->\infty$ 时:

$F(\omega)=T\cdot f(n\cdot \frac{2\pi}{T})=2\tau \cdot \frac{sin(\omega\tau)}{\omega\tau}$

下图表示的就是当 $T->\infty$ 时，信号代表的频谱密度。

这里的负频率的意义是单位圆的旋转方向，并不是普通意义上“负”的概念。

数字电路中的时钟信号时域波形和上图非常相似，它的频谱密度图说明了一个问题，周期性的信号是窄带频谱(频带范围△f远小于中心频率fc，且fc远离零频率的窄带随机信号或窄带噪声，统称为窄带随机过程)。,特定的频率的幅值会很高,这对认证测试来说非常的不利。而一般时钟信号都是周期信号,这在电路中是少不了的。有没有什么办法,改造下时钟的频谱,同时又不影响功能呢?

答案是有的,那就是展频技术。

展频,通常理解,就是将窄带频谱扩展为宽带频谱,让能量不集中到某一个频率点,将能量分散到多个频率点。通过对尖峰时钟进行调制处理，使其从一个窄带时钟信号变为一个具有边带的频谱，将时钟的尖峰能量分散到展频区域的多个频率段，从而达到降低尖峰能量，抑制EMI的效果。

经过展频后的信号，频率并不是“那么固定”，它会在一定范围内移动。所以频谱上，把能量“平均”了。这样，对于EMC （电磁兼容性）上更良好。这在很多对于频率精准度要求不那么高的技术上使用。

我们知道,时钟信号通常都是周期信号,它的频谱就是窄带的,能量集中,如上面的傅里叶级数分析。要想将它的频谱进行扩宽,那肯定要对时钟信号进行改造,如何改造呢?

原本的时钟信号每个周期都是一样的,周期时间长度也一样,为Tclk。我们可以对其进行微调,比如先将每个时钟周期比上一个时钟周期的时间加长一点点,累计n个周期之后,再将每个时钟周期比上一个时钟周期缩短一点点,再累计n个周期,如此循环。

这样时间一定的话,包含总的时钟周期的个数是不变的,但是里面的时钟信号的每个周期都是不一样的,如下图。

从上面的描述可以看到,会有几个参数。

一个是调制速度:就是完成一次循环的时间,也就是2n*Tclk,这个时间的倒数就是调制速度对应的调制频率。

一个是调制深度:调制后,会有最长的时钟周期,也有最短的时钟周期,它们相对原始周期长度有一个差值,这个差值除以原来的时钟周期,就是调制深度,是个百分数。

还有一个是调制方式:前说的是时钟周期长度线性增加或者减小,这种方式叫线性调制方式,线性调制方式如下所示:

在中间虚线位置时,时钟的周期不变,也就是频率不变。在三角波顶端时,时钟周期变到最小,也就是频率变到最大,为f+△f。

这个三角波的频率就是调制速度,它一般远小于时钟频率,在30Khz-60Khz左右。

调制深度就对应△f,一般实际变化量很小,小于3%。

现在我们知道了展频之后的信号是什么样的,那么它真的能将窄带频谱变为宽带频谱吗?我们下面画出它的频谱。

展频后的频谱

1、为了减小计算量(量大电脑内存不够用),我们让时钟的频率为1,调制速度为时钟的千分之一,即0．001Hz,调制深度为2%。

2、为了更为清楚的看到展频之后的频谱,我们对1Hz基频来个特写。

调制之前1Hz的幅度是0．63,调制之后最高幅度为0．15。如果db来表示,那么就是降低了20log(0．63/0．15)=12．7dB。

3、上图对应的是调制深度为2%,我们降低调制深度为1%,再来看看频谱。

调制深度为1%的频谱幅度最高为0.2,如果用db来表示,那么就是降低了20log(0.63/0.2)=9.96dB。

两者对比,可看到,调制深度越大,频谱越宽,幅度越小,对EMI的抑制作用也就越好。不过呢,调制深度大了,时钟频率变化越大,引起电路时序问题的可能性也就越大。

4、如果调制深度不变,改变调制速度会怎么样呢?

将调制速度从0．001改为0．0001,即降低10倍,调制深度为2%,频谱如下图。

频谱幅度最高为0．05,如果db来表示,那么就是降低了20log(0．63/0．05)=22dB。

可以看到,调制速度降低,对EMI的抑制作用越好。不过通常不会低于30Khz,因为20Khz就处于人耳可听到的范围,为了避免产生噪声,不会再低了。

小结

1、展频技术可以将窄带频谱变成宽带频谱,能够对辐射有抑制作用

2、调制速度越慢,调制深度越大,抑制效果越好

实践:

结束！

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2、为了更为清楚的看到展频之后的频谱,我们对1Hz基频来个特写。

实践:

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