Algorithms and Inference

距离徐院士给我推荐这本书已经过去了快两个月，但因为已经不报希望了，所以就一直迟迟没有开始看，最近把小论文先投了一个会议，大论文完成了第一稿，想着是时候把这本书看看了。但是，第一页的内容就看了好几个小时。近几年，记忆力越来越不好好，趁着下午新学的还热乎，赶紧总结一下。

Suppose we have observed numbers x_1,x_2,...,x_n applying to some phenomenon of interest, perhaps the automobile accident rates in the n=50 states. The mean $\bar x = \sum\limits_1^n {{x_i}/n} $ summarizes the results in a single number.

这里一开始理解了很久，一开始认为是一个随机事件，共包含50种状态，其中每种状态的观测次数为$x_i$，所以一直不明白为什么均值是$\bar x = \sum\limits_1^n {{x_i}/n} $？后来根据后面的standard error，而不是standard deviation才知道应该将整个思考的思路变换为统计学的思路。

这里的50应该是50次抽样，每次的均值是$x_i$。比如说想知道中国人的平均身高，共抽样了n=50次，每次抽样的身高不一样，为$x_i$。这n组不一样的“平均身高”本身组成了一个样本分布，这个分布的均值就是 $\bar x = \sum\limits_1^n {{x_i}/n} $。

How accurate is that number? The textbook answer is given in terms of the standard error,$\hat s = {[\sum\limits_1^n {({x_i} - \bar x)/(n(n - 1))} ]^{1/2}}$.

standard error(SE)区别于standard deviation(SD),SD为标准差，用来表示样本离散程度的，它表示的是样本们和样本均值之间的偏离程度。SE是标准误，是样本统计量的标准差，最常用的均值的标准误，通常又被称为（standard error of mean）,即当前样本和总体真实平均数的偏离程度。如果知道真实总体均值的标准差，那么标准误$\hat s = {\sigma \over {\sqrt n }}$，在不知道真实总体均值的标准差情况下，则用样本的标准差，采用它的无偏估计$\hat s = {s \over {\sqrt {n - 1} }}$，其中$s = \sqrt {\sum\limits_1^n {{1 \over n}} {{({x_i} - \bar x)}^2}} $。

最后，附上知乎上举的这个例子，

你想知道全中国人的平均身高，然后从男篮抽了5个人，假设平均身高1.9米。如果你想告诉大家这个1.9能够有意义，至少需要告诉大家这5个人之见的差异不是很大，否则大家会怀疑这个均值没有代表性。这就是SD要小才比较好的道理。但是，即使这里你的SD很小，大家就会相信吗？并不是，原因就是虽然SD小，但是n也很小，也就是说你样本数仅仅是总体的很小一部分，很可能你抽到的这一部分不具有代表性或者说它本身就是和总体均值相差颇远的一块样本空间。如何评判你抽的样本均值好不好呢，很简单，SD除以根号n。这就是SEM。很明显看出来，SEM不仅包括了样本离散信息，还包括了你这个样本靠不靠谱的程度(n越大越靠谱咯，最好n就是总体N)。（个人觉得这里这个标准误的计算应该是SD除以根号n-1，举这个例子只是帮助理解标准差和标准误的物理意义）

说白了，你想用SD来告诉大家你的抽样均值很准确，前提是你的样本数要足够大，所以仅仅用SD是不够用的，需要再除以根号n，用SEM更为合适。

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