[bzoj4373]算术天才⑨与等差数列

//被标题吸引进来，无论如何都要切出来

题目大意

给你一个长度为n的序列，有m个操作，写一个程序支持以下两个操作：
1. 修改一个值
2. 给出三个数l,r,k，询问：如果把区间[l,r]的数从小到大排序，能否形成公差为k的等差数列。
强制在线

数据范围

n,m≤300000 0≤k,a[i]≤ 109 10^9

分析

首先特判k=0和l=r的情况。

然后考虑不满足上面两个条件的情况。
直接维护区间等差数列显然很难，那么考虑一下：如果区间[l,r] (l < r)排序后能形成公差为k(k>0)的等差数列，要满足什么条件？
1. 很显然，假设min是区间最小值，max是区间最大值，那么 min+k(r−l)=max min+k(r-l)=max
2. 区间相邻两个数之差的绝对值的gcd=k，可以自行脑补一下
3. 区间没有重复的数

维护区间信息

上述的前两个条件可以直接用线段树维护。
现在看第3个条件。
首先，序列出现过的值最多只有600000种，所以可以对于每个值开一个set，对应的id用一个map存起来。
然后维护一个pre[i]，表示当前a[i]这个值，在i前面最后一次出现的位置。那么满足第3个条件，当且仅当区间[l,r]的pre的最大值小于l。这个也是用线段树维护。
然后看修改操作：在set上找前一个数、后一个数，然后修改相应的值。
时间复杂度 O(nlogn) O(nlogn)，要注意优化常数。

/**************************************************************Problem: 4373User: worldwideLanguage: C++Result: AcceptedTime:6148 msMemory:53008 kb
****************************************************************/#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>#define id it->secondusing namespace std;const int maxn=300005,maxt=1048578,maxm=600005;typedef long long LL;int n,m,cnt,Min[maxt],Max[maxt],a[maxn],Max_pre[maxt],pre[maxn],next[maxn],Gcd[maxt],tot,l,r;int mininum,maxinum,G;bool flag;char c;map <int,int> num;set <int> tree[maxm];int read()
{for (c=getchar();c<'0' || c>'9';c=getchar());int x=c-48;for (c=getchar();c>='0' && c<='9';c=getchar()) x=x*10+c-48;return x;
}int gcd(int x,int y)
{if (x==0) return y;if (y==0) return x;return gcd(y,x%y);
}void init(int l,int r,int x)
{if (l==r){Min[x]=Max[x]=a[l]; Max_pre[x]=pre[l];if (l<n) Gcd[x]=abs(a[l]-a[l+1]);else Gcd[x]=1;return;}int mid=l+r>>1;init(l,mid,x<<1); init(mid+1,r,x<<1|1);Min[x]=min(Min[x<<1],Min[x<<1|1]);Max[x]=max(Max[x<<1],Max[x<<1|1]);Max_pre[x]=max(Max_pre[x<<1],Max_pre[x<<1|1]);Gcd[x]=gcd(Gcd[x<<1],Gcd[x<<1|1]);
}void change_pre(int l,int r,int g,int New,int x)
{if (l==r){Max_pre[x]=pre[l]=New;return;}int mid=l+r>>1;if (g<=mid) change_pre(l,mid,g,New,x<<1);else change_pre(mid+1,r,g,New,x<<1|1);Max_pre[x]=max(Max_pre[x<<1],Max_pre[x<<1|1]);
}void change_a(int l,int r,int g,int x)
{if (l==r){Min[x]=Max[x]=a[l];return;}int mid=l+r>>1;if (g<=mid) change_a(l,mid,g,x<<1);else change_a(mid+1,r,g,x<<1|1);Min[x]=min(Min[x<<1],Min[x<<1|1]);Max[x]=max(Max[x<<1],Max[x<<1|1]);Max_pre[x]=max(Max_pre[x<<1],Max_pre[x<<1|1]);
}void change_gcd(int l,int r,int g,int x)
{if (l==r){Gcd[x]=abs(a[l]-a[l+1]);return;}int mid=l+r>>1;if (g<=mid) change_gcd(l,mid,g,x<<1);else change_gcd(mid+1,r,g,x<<1|1);Gcd[x]=gcd(Gcd[x<<1],Gcd[x<<1|1]);
}void query(int l,int r,int a,int b,int x)
{if (l==a && r==b){if (Max_pre[x]>=l) flag=1;if (Min[x]<mininum) mininum=Min[x];if (Max[x]>maxinum) maxinum=Max[x];return;}int mid=l+r>>1;if (b<=mid) query(l,mid,a,b,x<<1);else if (a>mid) query(mid+1,r,a,b,x<<1|1);else{query(l,mid,a,mid,x<<1); query(mid+1,r,mid+1,b,x<<1|1);}
}void query_gcd(int l,int r,int a,int b,int x)
{if (l==a && r==b){G=gcd(G,Gcd[x]);return;}int mid=l+r>>1;if (b<=mid) query_gcd(l,mid,a,b,x<<1);elseif (a>mid) query_gcd(mid+1,r,a,b,x<<1|1);else{query_gcd(l,mid,a,mid,x<<1); query_gcd(mid+1,r,mid+1,b,x<<1|1);}
}int main()
{n=read(); m=read();for (int i=1;i<=n;i++){a[i]=read();map <int,int> ::iterator it=num.find(a[i]);if (it==num.end()){num.insert(make_pair(a[i],++tot));tree[tot].insert(i);pre[i]=0;}else{tree[id].insert(i);set <int> ::iterator ii=tree[id].find(i); ii--;pre[i]=*ii; next[*ii]=i;}}init(1,n,1);while (m--){int op=read();if (op==1){int x=read()^cnt,y=read()^cnt;if (a[x]==y) continue;map <int,int> ::iterator it=num.find(a[x]);set <int> ::iterator ii=tree[id].find(x);if (pre[x]>0){next[pre[x]]=next[x];if (next[x]>0) change_pre(1,n,next[x],pre[x],1);}else if (next[x]>0) change_pre(1,n,next[x],0,1);tree[id].erase(ii);it=num.find(y);if (it==num.end()){num.insert(make_pair(y,++tot));tree[tot].insert(x);pre[x]=next[x]=0;}else{tree[id].insert(x);ii=tree[id].find(x);if (ii!=tree[id].begin()){ii--;next[x]=next[*ii];if (next[x]>0) change_pre(1,n,next[x],x,1);next[*ii]=x;pre[x]=*ii;}}a[x]=y;change_a(1,n,x,1);if (x>1) change_gcd(1,n,x-1,1);if (x<n) change_gcd(1,n,x,1);}else{l=read()^cnt; r=read()^cnt; int k=read()^cnt;if (l==r){printf("Yes\n"); cnt++; continue;}mininum=(int)1e9; maxinum=flag=0;query(1,n,l,r,1);if (!k){if (mininum==maxinum){printf("Yes\n"); cnt++;}else printf("No\n");continue;}G=k;query_gcd(1,n,l,r-1,1);if (flag || mininum+(LL)k*(r-l)!=maxinum || G<k){printf("No\n");}else{printf("Yes\n"); cnt++;}}}return 0;
}