【题解】有便便的厕所(权值线段树动态开点模板题)

我只是来填坑的。

关于权值线段树的更多有关内容见此。

题面

题目描述

众所周知， GM \texttt{GM} GM 家的狗特别喜欢拉便便。 GM \texttt{GM} GM 为了方便它方便，在家里修建了 1 0 9 10^9 109 个马桶，依次排开，成一条直线，为了方便，依次编号 1 1 1 到 1 0 9 10^9 109 。

GM \texttt{GM} GM 家的狗叫“地铺雀儿”,“地铺雀儿”每次会选择一个马桶方便，但是很不幸，它不会冲厕所。 GM \texttt{GM} GM 为了冲厕所方便，修建了一个巨型水桶，可以一次冲掉一个区间内的每个厕所。（当然，区间上如果有没用过的厕所，也会一起冲，这样也许有些浪费水）

“地铺雀儿”还有一个特殊的爱好，它想观察某个区间上所有便便排序后的第 k k k 大便便在哪个厕所中，以方便跟它朋友吹嘘自己多能能拉便便。比如它观察区间 2 ∼ 10 2\sim 10 2∼10 中，想找出有便便的编号第 2 2 2 大的厕所，有 2 , 4 , 5 , 6 2,4,5,6 2,4,5,6 四个厕所各有一坨便便，那么答案就是5。

注意：“地铺雀儿”不怎么讲卫生，如果某厕所有便便了，它还可以继续在这个厕所拉便便。(也就是这个厕所里有多个便便)，这些便便也要参加排序。

给你 q q q 个操作：

操作 1 1 1 的格式是：1 x，表示“地铺雀儿”在x号位置拉便便；

操作 2 2 2 的格式是：2 l r，表示 GM \texttt{GM} GM 冲掉区间 [ l , r ] [l,r] [l,r] 之间的所有便便，如果一个厕所有多个便便也一并冲走。

操作 3 3 3 的格式是：3 l r k，表示“地铺雀儿”想在区间l到r的范围内，包括 l l l 和 r r r ，寻找第 k k k 大的厕所编号(若不存在输出-1)

输入格式

第一行输入一个 q q q，代表询问次数 ( q ⩽ 1 0 5 ) (q\leqslant10^5) (q⩽105) 接下来 q q q 行，每行先输入一个 o p op op，如果op==1，则只输入一个 x x x ；若op==2，则输入 l , r l,r l,r ；若op==3，则需要输入 l , r , k l,r,k l,r,k。

输出格式

输出op==3时的所有询问

样例

样例输入

样例输出

数据范围与提示

Solution

总结一下题意：

有一些带权值的 shit 和 q q q 个操作 ( 1 ⩽ q ⩽ 1 0 5 ) (1\leqslant q\leqslant 10^5) (1⩽q⩽105) ，操作分为三种：

操作一：输入 x x x ，将权值为 x x x 的 shit 的数量增加 1 1 1 （权值线段树动态开点中的Insert）
操作二：输入 l , r l,r l,r ，将权值在 [ l , r ] [l,r] [l,r] 范围内的 shit 的数量清空（区间修改中的Update）
操作三：输入 l , r , k l,r,k l,r,k ，输出权值在 [ l , r ] [l,r] [l,r] 范围内，权值第 k k k 大的 shit 。（权值线段树中的Query）

那么，我们发现，操作二是个区间修改，这样一来所有函数都需要Spread，所以我们先来解决操作二。

区间修改还是很好写的，首先我们先规定每一个结点存放的值：

int l,r,ll,rr;
//左儿子编号,右儿子编号,左端点,右端点
bool add;
//懒标记，标记当前值域是否被清空，因为清空只有一种固定的方式，所以将add定义为bool变量
int num;
//记录当前值域每个数的数量之和
//(不要问我为什么不写sum，因为我的sum写着写着就变成了num了)

那么Spread 就非常好打了：

void Spread(int p){if(a[p].add){int lt=a[p].l;//存左子树的编号int rt=a[p].r;//存右子树的编号//-----延伸-----a[lt].num=0;//清空a[lt].add=1;//懒标a[rt].num=0;//清空a[rt].add=1;//懒标//----清除-----a[p].add=0;//去懒标}return;
}

Spread都出来了，还愁什么Update？

首先，打出一份动态开点区间修改的板子。

因为是动态开点，我们还是要处理一下当前值域是否存在的问题。

如果当前值域不存在，也就是递归到的结点编号为默认的 0 0 0 时，就可以return了。

因为当前结点不存在，说明之前根本没有被修改过，值域中每个数出现的次数都是 0 0 0 次，相当于已经是空的了，也就不用再多此一举，手动清空了。

void Update(int p,int l,int r){if(!p)return;if(l<=a[p].ll&&a[p].rr<=r){a[p].num=0;a[p].add=1;return;}Spread(p);int lt=a[p].l,rt=a[p].r;int mid=a[p].ll+a[p].rr>>1;if(l<=mid)Update(lt,l,r);if(r>mid)Update(rt,l,r);a[p].num=a[lt].num+a[rt].num;return;
}

氮素，区间修改的次数太多也是有可能T的，我们思考，怎么减少区间修改的次数？

当 p p p 所表示的值域已经被打过懒标记了，就说明这个值域之前已经被清空过了，并且其中的数的数量没有新增(否则Insert会调用Spread将 p p p 的懒标去掉)

如果这个值域中数出现的次数之和为 0 0 0 ，那么也不用清空了，本身就是空的嘛。

void Update(int p,int l,int r){//区间修改if(!p||a[p].add||!a[p].num)return;if(l<=a[p].ll&&a[p].rr<=r){a[p].num=0;a[p].add=1;return;}Spread(p);int lt=a[p].l,rt=a[p].r;int mid=a[p].ll+a[p].rr>>1;if(l<=mid)Update(lt,l,r);if(r>mid)Update(rt,l,r);a[p].num=a[lt].num+a[rt].num;return;
}

好的，那么接下来就是Insert。

往正常的Insert里塞个Spread就行惹。

void Insert(int p,int l,int r,int x){//单点修改 a[p].ll=l,a[p].rr=r;if(l==r){a[p].add=0;a[p].num++;return;}int mid=l+r>>1;Spread(p);if(x<=mid){if(!a[p].l)a[p].l=++tot;Insert(a[p].l,l,mid,x);}else{if(!a[p].r)a[p].r=++tot;Insert(a[p].r,mid+1,r,x);}a[p].num++;return;
}

最后，是最难搞的Query。

编号第 k k k 大，要怎么处理呢？

我们的权值线段树从左到右表示的数/值域是从小到大的，那么，更大的就在偏向右边的地方。（笔者表达能力不好，见谅）

如果我们要查询的区间 [ l , r ] [l,r] [l,r] 被右子树包含一部分，我们就看：

若①值域中包含的数的个数 ⩾ k \geqslant k ⩾k ，说明第 k k k 大数就在①值域中，递归询问右子树。

相应的，如果①值域中包含的数的个数不到 k k k ，说明第 k k k 大的数在左子树中，递归询问左子树。

注意，此时虽然右子树没有 k k k 那么多个数，但是也有自己的包含数的个数（假设为 r d a t rdat rdat 个），查询左子树时就不能再查第 k k k 大的了，而是 k − r d a t k-rdat k−rdat 大的数。

int QuerySum(int p,int l,int r){if(!p||a[p].add||!a[p].num)return 0;//理由同 Update,这些情况都是包含数的个数为0的if(l<=a[p].ll&&r>=a[p].rr)return a[p].num;int val=0;Spread(p);int lt=a[p].l,rt=a[p].r;int mid=a[p].ll+a[p].rr>>1;if(l<=mid)val+=QuerySum(lt,l,r);if(r>mid)val+=QuerySum(rt,l,r);return val;
}
int Query(int p,int l,int r,int k){if(!p||a[p].add||!a[p].num)return -1;//理由同 Update,如果一个数也没有，也就没有第k大数的说法if(a[p].ll==a[p].rr){if(a[p].num>=k)return a[p].ll;return -1;}Spread(p);int lt=a[p].l,rt=a[p].r;int rdat=0;//保存右子树的查询数据int mid=a[p].ll+a[p].rr>>1;if(r>mid){rdat=QuerySum(rt,l,r);if(k<=rdat)return Query(rt,l,r,k);}if(l<=mid)return Query(lt,l,r,k-rdat);//即使右子树没有包含询问区间，rdat也是0，不会对k产生影响return -1;
}

Code

坑坑洼洼的代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
const int maxn=1e9;
const int maxm=1e5*log(1e9)/log(2);
#define int long long //经典lym行为，GM墙裂 不 推荐写法
struct Segment_tree{int l,r;bool add;int num,ll,rr;
}a[maxm];
int n,tot,type,l,r,x;
void Spread(int p){if(a[p].add){int lt=a[p].l;int rt=a[p].r;a[lt].num=0;a[lt].add=1;a[rt].num=0;a[rt].add=1;a[p].add=0;}return;
}
void Insert(int p,int l,int r,int x){//单点修改 a[p].ll=l,a[p].rr=r;if(l==r){a[p].add=0;a[p].num++;return;}int mid=l+r>>1;Spread(p);if(x<=mid){if(!a[p].l)a[p].l=++tot;Insert(a[p].l,l,mid,x);}else{if(!a[p].r)a[p].r=++tot;Insert(a[p].r,mid+1,r,x);}a[p].num++;return;
}
void Update(int p,int l,int r){//区间修改if(!p||a[p].add||!a[p].num)return;if(l<=a[p].ll&&a[p].rr<=r){a[p].num=0;a[p].add=1;return;}Spread(p);int lt=a[p].l,rt=a[p].r;int mid=a[p].ll+a[p].rr>>1;if(l<=mid)Update(lt,l,r);if(r>mid)Update(rt,l,r);a[p].num=a[lt].num+a[rt].num;return;
}
int QuerySum(int p,int l,int r){if(!p||a[p].add||!a[p].num)return 0;
//  printf("QuerySum->[%d,%d]|%d",a[p].ll,a[p].rr,a[p].num);if(l<=a[p].ll&&r>=a[p].rr)return a[p].num;int val=0;Spread(p);int lt=a[p].l,rt=a[p].r;int mid=a[p].ll+a[p].rr>>1;if(l<=mid)val+=QuerySum(lt,l,r);if(r>mid)val+=QuerySum(rt,l,r);return val;
}
int Query(int p,int l,int r,int k){if(!p||a[p].add||!a[p].num)return -1;if(a[p].ll==a[p].rr){if(a[p].num>=k)return a[p].ll;return -1;}Spread(p);int lt=a[p].l,rt=a[p].r;int rdat=0;int mid=a[p].ll+a[p].rr>>1;
//  printf("Query->[%d,%d]\n",a[p].ll,a[p].rr);if(r>mid){//      printf("[%d,%d]:right\n",a[p].ll,a[p].rr);rdat=QuerySum(rt,l,r);
//      printf("=%d\n",rdat);if(k<=rdat)return Query(rt,l,r,k);}if(l<=mid){//      printf("[%d,%d]:left\n",a[p].ll,a[p].rr);return Query(lt,l,r,k-rdat);}return -1;
}
signed main(){scanf("%lld",&n);++tot;for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%lld",&type);if(type==1){scanf("%lld",&x);Insert(1,1,maxn,x);}else if(type==2){scanf("%lld%lld",&l,&r);Update(1,l,r);}else{scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&x);printf("%lld\n",Query(1,l,r,x));}}return 0;
}

end.