蓝桥杯算法 DP 印章 java

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资源限制

内存限制：256.0MB C/C++时间限制：1.0s Java时间限制：3.0s Python时间限制：5.0s

问题描述

　　共有n种图案的印章，每种图案的出现概率相同。小A买了m张印章，求小A集齐n种印章的概率。

输入格式

　　一行两个正整数n和m

输出格式

　　一个实数P表示答案，保留4位小数。

样例输入

2 3

样例输出

0.7500

数据规模和约定

　　1≤n，m≤20
题目思路
1、首先我们得看明白题目的要求：买了m张印章集齐在n种印章中的j种概率（可能会有点拗口，本人也是看了很多大佬的解题思路才看明白题目的，这是按照自己表述出来，这个j就是方便我们理解的）
第一步：确定这是个动态规划的问题（DP）

分享一个比较实用的解决DP算法的步骤：

1.确认状态，即DP数组中值的含义（看是一维数组还是二维数组，一般的题目都是二维数组）

2.设计状态转移方程

3.设置DP数组的初始值

第二步：设置二维数组arr[i][j]，表示买i种印章集齐j种图案的概率，购买印章的概率为p=1/n

第三步：根据DP算法步骤，首先确定初始值，当j=1时（即只需要集齐一种印章），分情况考虑：

当i=1	只买一张印章需要凑齐一种，无论如何其概率都为1
当i<1	购买的数量小于凑齐的种类，说明永远达不到目标，概率为0（在任何情况下适用）
当i>1	购买i张印章需要集齐一种图案（说明i张印章的图案都要一致）,购买每款印章的概率为i个p相乘，即（1/n）^(i),因为总共有n种印章，所以其概率还要*n，推算为（1/n）^(i-1)

设好初始值后，考虑中间状态；在购买的第i张中，与前i-1张有两种可能，一是正好集齐了j款，二是前面i-1张集齐了j-1种；

第一种可能	正好集齐了j种，那么第i张只能是前j种图案中的一种（否则不符合题意），根据公式表达为arr[i][j]=arr[i-1][j]jp
第二种可能	前面的i-1张只集齐了j-1款图案，也就是还差一款，那么第i张只能是除去n款中的j-1款中的其中一个，根据公式表达为arr[i][j]=arr[i-1][j-1]（n-j-1）p

到这里就结束了，还需要注意的是，中间状态中的两种可能在代码里不需要再去分情况判断，直接相加即可，即arr[i][j]=arr[i-1][j]*j*p+arr[i-1][j-1]*（n-j-1）*p。

代码段

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubScanner input=new Scanner(System.in);int n=input.nextInt();int m=input.nextInt();double arr[][]=new double[m+1][n+1];double p=1.0/n;int i,j;for(i=1;i<=m;i++) {for(j=1;j<=n;j++) {if(i<j)arr[i][j]=0;if(j==1) {arr[i][j]=Math.pow(p, i-1);}else {arr[i][j]=arr[i-1][j-1]*(n-j+1)*p+arr[i-1][j]*(j*p);}}}System.out.printf("%.4f",arr[m][n]);}}

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