偏序关系Dilworth定理

偏序关系

先介绍一些形式上的定义。

定义一个作用在集合 SSS 上的二元关系 ≤\leq≤（并不是指小于等于，但是用这个符号比较形象，因为 ≤\leq≤ 自身就是广泛满足偏序关系的），若 SSS 满足：

自反性： 对于任意 x∈Sx\in Sx∈S，有 x≤xx\leq xx≤x。
反对称性： 如果有 x≤y,y≤xx\leq y,y\leq xx≤y,y≤x，那么有 x=yx=yx=y。
传递性： 如果有 x≤y,y≤zx\leq y,y\leq zx≤y,y≤z，那么有 x≤zx\leq zx≤z。

则称 ≤\leq≤ 为 SSS 上的偏序关系。

最小元： 对于 xxx 而言，若对于任意 y≤xy\leq xy≤x，都满足 y=xy=xy=x，那么 xxx 就是一个最小元。

可比较： 对于两个元素 x,yx,yx,y，若有 x≤yx\leq yx≤y 或 y≤xy\leq xy≤x，那么称他们可比较。

全序关系： 若集合内任意两个元素都可比较，那么称 ≤\leq≤ 是 SSS 上的全序关系。举个例子，≤\leq≤（这里指小于等于）在 ZZZ（整数集）上就是全序关系，而 ≤\leq≤ 在复数域上就是偏序关系。

链：一个偏序集合中的一个全序子集，又被称为链，即满足任意两个元素都可比较的子集。

反链： 类似的，即满足任意两个元素都不可比较的子集。

Dilworth定理

这是一个对偶定理，也就是说有两条：

定理1： 其最长链中元素的数目必等于其最小反链划分（即将集合划分为最少的反链）中反链的数目。
定理2： 其最长反链中元素的数目必等于其最小链划分中链的数目。

证明其实也很容易理解，先证明定理 111：

设 rrr 为最长链的元素数目，kkk 为最小反链划分中反链的数目。

分两部分证明，先证明 k≥rk\geq rk≥r，然后证明 k≤rk\leq rk≤r，最后由此得到 r=kr=kr=k。

由于最长链中的元素两两不能在同一反链中，所以反链数目至少为 rrr，即 k≥rk\geq rk≥r。

设 A1=SA_1=SA1=S，将 A1A_1A1 中所有最小元取出得到 a1a_1a1，将 a1a_1a1 从 A1A_1A1 中删掉得到 A2A_2A2，反复操作得到 2n2n2n 个集合，即 A1A_1A1 ~ AnA_nAn 和 a1a_1a1 ~ ana_nan，不难发现 a1a_1a1 ~ ana_nan 是一个反链划分。

不难取出一个长度为 nnn 的链 c1c_1c1 ~ cnc_ncn，其中，ci∈aic_i\in a_ici∈ai。由于最长链长度为 rrr，所以有 r≥nr\geq nr≥n，又由于反链划分最少为 kkk，所以又有 k≤nk\leq nk≤n，所以有 k≤rk\leq rk≤r。

证毕。 定理 222 证明类似，不赘述了。

应用

我们早就见过的导弹拦截就是经典应用。

若拦截了 iii 之后可以拦截 jjj，那么需要满足偏序关系：i<j,ai≥aji<j,a_i\geq a_ji<j,ai≥aj。第一问就是求最长链长度，随便dp即可，第二问要求最小链划分数目，这就等于最大反链划分数目，即最长上升子序列。

还有很多题可以上网搜到，这里也提供一题：[Poi1998]Flat broken lines。