e的x的2次方的积分是什么

怎么计算e的x的2次方的不定积分

在学习高等数学时，我曾产生了这个问题。经过搜索引擎搜索，我发现很难找到该问题的正确答案，回答者多半当作定积分来计算了，其他的使用分部积分法，然后上传了一个错误地答案。
首先使用分部积分法是没有可能计算出结果的，其结果如下：
∫ex2dx=xex−∫xdex2=xex−∫ex2⋅2xdx\int e^{x^2}\,\mathrm{d}x =xe^x-\int x\,\mathrm{d}{e^{x^2}} =xe^x-\int e^{x^2}\cdot 2x\,\mathrm{d}x ∫ex2dx=xex−∫xdex2=xex−∫ex2⋅2xdx
这之后就没有办法往下算了，错者多半是将2x2x2x抄掉了。

那么是不是该函数不存在原函数呢？
根据原函数存在定理，不难发现 ex2e^{x^2}ex2 在全区间上都是连续函数，因此它的原函数的一定是存在的。

但是，有原函数并不代表它能够用基本初等函数形式来表达。

故我们可以考虑，使用泰勒公式在0点处将ex2e^{x^2}ex2进行展开，计算其收敛域，在它的收敛域上计算不定积分。
①将ex2e^{x^2}ex2展开为幂级数。
ex2=1+x2+x42!+x63!+⋯+x2nn!+⋯=∑n=0∞x2nn!e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots\,+\frac{x^{2n}}{n!}\,+\cdots =\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{n!}ex2=1+x2+2!x4+3!x6+⋯+n!x2n+⋯=n=0∑∞n!x2n
②根据幂级数的收敛域求法：
若 lim⁡n→∞∣an+1an∣=ρ\lim_{n\to\infty}\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert=\rholimn→∞anan+1=ρ ，则 ∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^\infty a_nx^n∑n=0∞anxn 的收敛半径 RRR 的表达式为
R={1ρ,ρ≠0+∞,ρ=00,ρ=+∞R=\begin{cases} \frac{1}{\rho},&\rho\ne0\\ +\infty,&\rho=0\\ 0,&\rho=+\infty \end{cases}R=⎩⎨⎧ρ1,+∞,0,ρ=0ρ=0ρ=+∞
求①中所得幂级数的收敛半径R：
ρ=lim⁡n→∞∣1(n+1)!1n!∣=lim⁡n→∞1n+1=0⇒R=+∞\rho=\lim_{n\to\infty}\left\vert \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} \right\vert =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0\, \Rightarrow R=+\inftyρ=n→∞limn!1(n+1)!1=n→∞limn+11=0⇒R=+∞
则①中幂级数的收敛域为I=(−∞,+∞)I=(-\infty,+\infty)I=(−∞,+∞)。

③根据幂级数求和函数的性质：
幂级数 ∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^\infty a_nx^n∑n=0∞anxn 的和函数 S(x)S(x)S(x) 在其收敛域 III 上可积，且有逐项积分公式
∫0xS(t)dt=∫0x∑n=0∞antndt=∑n=0∞an∫0xtndt=∑n=0∞ann+1xn+1(x∈I)\int_0^xS(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^x\sum_{n=0}^\infty a_nt^n\,\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^\infty a_n\int_0^xt^n\,\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\,(\,x\in I)∫0xS(t)dt=∫0xn=0∑∞antndt=n=0∑∞an∫0xtndt=n=0∑∞n+1anxn+1(x∈I)
新的幂级数∑n=0∞ann+1xn+1\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}∑n=0∞n+1anxn+1收敛域半径与原级数相同。

因此ex2e^{x^2}ex2的不定积分终于可以计算了：
∫ex2dx=∫axet2dt=∫a0et2dt+∫0xet2dt=∫a0et2dt+∫0x∑n=0∞t2nn!dt=∑n=0∞x2n+1(2n+1)n!+C,x∈(−∞,+∞)\begin{aligned} \int e^{x^2}\,\mathrm{d}x &= \int_a^xe^{t^2}\mathrm{d}t\\&=\int_a^0e^{t^2}\mathrm{d}t\,+\int_0^xe^{t^2}\mathrm{d}t\\&=\int_a^0e^{t^2}\mathrm{d}t\,+\int_0^x\sum_{n=0}^\infty \frac{t^{2n}}{n!}\,\mathrm{d}t\\&=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!}\,+C,\,\,\,\,x\in (-\infty,+\infty) \end{aligned}∫ex2dx=∫axet2dt=∫a0et2dt+∫0xet2dt=∫a0et2dt+∫0xn=0∑∞n!t2ndt=n=0∑∞(2n+1)n!x2n+1+C,x∈(−∞,+∞)
希望对读者有所帮助

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