QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的方法。在QR分解中，正交矩阵Q的转置是它的逆矩阵，因此QR分解可以用于求解线性方程组、最小二乘问题等。

二阶Givens矩阵

一般地，二阶Givens矩阵记为下列形式：

其中

下面开始介绍基于Givens矩阵的QR分解算法。Givens矩阵是一种旋转矩阵，可以将一个向量旋转到另一个向量的方向。在QR分解中，我们使用Givens矩阵将矩阵的列向量逐个旋转，使得矩阵变为上三角矩阵。

QR分解的详细步骤如下：

1. 对矩阵A的第一列进行Givens变换，使得A的第一列的下面的元素都变为0。这样得到一个新的矩阵A1和一个Givens矩阵G1。

1. 对矩阵A1的第二列进行Givens变换，使得A1的第二列的下面的元素都变为0。这样得到一个新的矩阵A2和一个Givens矩阵G2。

1. 重复步骤2，直到所有的列都被处理完毕。这样得到一个上三角矩阵R和一个正交矩阵Q，满足A=QR。

大致如下：

下面是基于Givens矩阵的QR分解的C和Python代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>#define N 3 // 指定矩阵阶数void print_matrix(double **M) {for (int i = 0; i < N; i++) {for (int j = 0; j < N; j++) {printf("%f ", M[i][j]);}printf("\n");}
}// 矩阵乘法
double **matrix_multiply(double **A, double **B) {int i, j, k;double **C = (double **)malloc(sizeof(double *) * N);for (i = 0; i < N; i++) {C[i] = (double *)malloc(sizeof(double) * N);}for (i = 0; i < N; i++) {for (j = 0; j < N; j++) {C[i][j] = 0;for (k = 0; k < N; k++) {C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];}}}return C;
}// 单位矩阵
double **identity_matrix() {int i, j;double **I = (double **)malloc(sizeof(double *) * N);for (i = 0; i < N; i++) {I[i] = (double *)malloc(sizeof(double) * N);for (j = 0; j < N; j++) {if (i == j) {I[i][j] = 1;} else {I[i][j] = 0;}}}return I;
}// 矩阵的转置
double **transpose_matrix(double **A) {int i, j;double **AT = (double **)malloc(sizeof(double *) * N);for (i = 0; i < N; i++) {AT[i] = (double *)malloc(sizeof(double) * N);for (j = 0; j < N; j++) {AT[i][j] = A[j][i];}}return AT;
}// Givens变换c和s
double *givens_rotation(double a, double b) {double c, s;double *cs = (double *)malloc(sizeof(double) * 2);if (b == 0) {c = 1;s = 0;} else if (fabs(b) > fabs(a)) {double r = a / b;s = 1 / sqrt(1 + r * r);c = s * r;} else {double r = b / a;c = 1 / sqrt(1 + r * r);s = c * r;}cs[0] = c;cs[1] = s;return cs;
}double **qr_givens(double A[][N], double **Q) {double **Q_ = identity_matrix();Q = Q_;double **R = (double **)malloc(sizeof(double *) * N);for (int i = 0; i < N; i++) {R[i] = (double *)malloc(sizeof(double) * N);}for (int i = 0; i < N; i++) {for (int j = 0; j < N; j++) {R[i][j] = A[i][j];}}for (int j = 0; j < N; j++) {for (int i = N - 1; i > j; i--) {double **G = identity_matrix();double *cs = givens_rotation(R[i - 1][j], R[i][j]);double c = cs[0];double s = cs[1];G[i - 1][i - 1] = c;G[i - 1][i] = s;G[i][i - 1] = -s;G[i][i] = c;double **R_ = matrix_multiply(G, R);R = R_;double **GT = transpose_matrix(G);double **Q_ = matrix_multiply(Q, GT);Q = Q_;}}return R;
}int main() {double A[N][N] = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};double **Q = (double **)malloc(sizeof(double *) * N);for (int i = 0; i < N; i++) {Q[i] = (double *)malloc(sizeof(double) * N);}double **R = qr_givens(A, Q);print_matrix(R);return 0;
}

import numpy as npdef givens_rotation(a, b):  # 定义一个Givens旋转函数，a和b是两个数if b == 0:  # 如果b为0return 1, 0  # 返回1和0elif abs(b) > abs(a):  # 如果b的绝对值大于a的绝对值r = a / b  # r等于a除以bs = 1 / np.sqrt(1 + r ** 2)  # s等于1除以根号下1加r的平方c = s * r  # c等于s乘以relse:  # 否则r = b / a  # r等于b除以ac = 1 / np.sqrt(1 + r ** 2)  # c等于1除以根号下1加r的平方s = c * r  # s等于c乘以rreturn c, s  # 返回c和sdef qr_givens(A):  # 定义一个QR分解函数，A是一个矩阵m, n = A.shape  # m和n分别等于A的行数和列数Q = np.identity(m)  # Q等于m阶单位矩阵R = A.copy()  # R等于A的副本for j in range(n):  # 对于j在0到n-1的范围内(从第一列到第n列)for i in range(m - 1, j, -1):  # 对于m-1到j+1的范围内(从最后一行到第j行)G = np.identity(m)  # G等于m阶单位矩阵c, s = givens_rotation(R[i - 1, j], R[i, j])  # c和s等于Givens旋转函数的返回值G[i - 1:i + 1, i - 1:i + 1] = [[c, s], [-s, c]]  # G的第i-1到i行，第i-1到i列等于[[c, s], [-s, c]]R = np.dot(G, R)  # R等于G和R的矩阵乘积Q = np.dot(Q, G.T)  # Q等于Q和G的转置矩阵的矩阵乘积return Q, R  # 返回Q和RA = np.array([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]])  # A等于一个3行3列的矩阵
Q, R = qr_givens(A)  # Q和R等于QR分解函数的返回值
print("Q:\n", Q)  # 输出Q