积化和差公式

sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left [ \sin(\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) \right ]sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α−β)]

cos⁡αsin⁡β=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)]\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left [ \sin(\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) \right ]cosαsinβ=21[sin(α+β)−sin(α−β)]

cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left [ \cos(\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) \right ]cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(α−β)]

sin⁡αsin⁡β=−12[cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)]\sin \alpha \sin \beta = - \frac{1}{2} \left [ \cos(\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta) \right ]sinαsinβ=−21[cos(α+β)−cos(α−β)]

和差化积公式

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}sinα+sinβ=2sin2α+βcos2α−β

sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}sinα−sinβ=2cos2α+βsin2α−β

cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}cosα+cosβ=2cos2α+βcos2α−β

cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}cosα−cosβ=−2sin2α+βsin2α−β

tan⁡α+tan⁡β=sin⁡(α+β)cos⁡α⋅cos⁡β\tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sin( \alpha + \beta )}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}tanα+tanβ=cosα⋅cosβsin(α+β)

归一化公式

sin⁡2x+cos2x=1\sin^2 x + cos^2 x = 1sin2x+cos2x=1

sec⁡2x−tan⁡2x=1\sec^2 x - \tan^2 x = 1sec2x−tan2x=1

cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x= 1cosh2x−sinh2x=1

倍（半）角公式、降（升）幂公式

sin⁡2x=12(1−cos⁡2x)\sin^2 x = \frac{1}{2} (1 - \cos 2x)sin2x=21(1−cos2x)

cos⁡2x=12(1+cos⁡2x)\cos^2 x = \frac{1}{2} (1 + \cos 2x)cos2x=21(1+cos2x)

tan⁡2x=1−cos⁡2x1+cos⁡2x\tan^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}tan2x=1+cos2x1−cos2x

sin⁡x=2sin⁡x2cos⁡x2\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}sinx=2sin2xcos2x

cos⁡x=2cos⁡2x2−1=1−2sin⁡2x2=cos⁡2x2−sin⁡2x2\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1 = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2} = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}cosx=2cos22x−1=1−2sin22x=cos22x−sin22x

tan⁡x=2tan⁡(x/2)1−tan⁡2(x/2)\tan x = \frac{2 \tan(x / 2)}{1 - \tan^2 (x / 2)}tanx=1−tan2(x/2)2tan(x/2)

万能公式

令 u=tan⁡x2u = \tan \frac{x}{2}u=tan2x，于是有

sin⁡x=2u1+u2\sin x = \frac{2u}{1 + u^2}sinx=1+u22u

cos⁡x=1−u21+u2\cos x = \frac{1 - u^2}{1 + u^2}cosx=1+u21−u2

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