题目

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题目描述

输入格式
第一行两个整数 n,rn,rn,r ，表示垃圾种类和垃圾桶数量为 nnn ，垃圾投放点是编号为 rrr 的垃圾桶。

第二行 nnn 个整数 a1,a2,a3,…,ana_1,a_2,a_3,\dots,a_na1,a2,a3,…,an ，aia_iai 表示第 iii 个垃圾桶处理第 iii 种垃圾的时间。

接下来 n−1n-1n−1 行，每行两个数 x,y(x≠y)x,y(x\ne y)x,y(x=y) ，表示有一条双向传送带连接编号为 xxx 和 yyy 的两个垃圾桶。

输出格式
输出一个整数，表示从开始投放垃圾到处理完所有垃圾的总时间。

数据范围与约定

思路

总的来说

只有停着的垃圾会挡路。所以我们只考虑，每个垃圾在哪里会停下来（无论是被别的垃圾挡住，还是正在处理）。

假设我们用 txt_xtx 来表示 xxx 号垃圾桶在 (tx+1)(t_x+1)(tx+1) 秒空闲（也就是说，在 txt_xtx 秒及其以前，这里有一个垃圾停泊）我们就可以知道，第 iii 个垃圾到达第 iii 个垃圾桶的时间是

x=max⁡j∈path⁡(i,r)[tj+1+dist(i,j)]x=\max_{j\in\operatorname{path}(i,r)}\Big[t_j+1+\text{dist}(i,j)\Big]x=j∈path(i,r)max[tj+1+dist(i,j)]

这个式子的正确性是显然的——只有 j∈path(i,r)j\in\text{path}(i,r)j∈path(i,r) 会挡路，在 tj+1t_j+1tj+1 秒到达了 jjj 号垃圾桶之后，还有 dist(i,j)\text{dist}(i,j)dist(i,j) 的路程。

然后我们存储一个深度 depthdepthdepth ，然后这个式子就可以写成

x=depth(i)+1+max⁡j∈path(i,r)[tj−depth(j)]x=depth(i)+1+\max_{j\in\text{path}(i,r)}\Big[t_j-depth(j)\Big]x=depth(i)+1+j∈path(i,r)max[tj−depth(j)]

这个式子感觉蛮可做的，告一段落。新来的垃圾 iii 只会产生 ti=x+ait_i=x+a_iti=x+ai 的限制吗？

考虑 iii 的移动过程——如果它被 jjj 挡住了，它就会停止在 father(j)\text{father}(j)father(j) 的地方。它停止了！这是需要带来 ttt 的改变的。

显然，ttt 的改变遵循

∀j∈path(i,r),tfather(j)=tj\forall j\in\text{path}(i,r),t_{\text{father}(j)}=t_j∀j∈path(i,r),tfather(j)=tj

正确性是显然的——直到 tjt_jtj 时刻，iii 都停留在 father(j)\text{father}(j)father(j) 处。

然后还有一点，就是 tx′=max⁡txt'_x=\max t_xtx′=maxtx 。每一次更新都是取最大值。

具体实现

对于限制的移动操作，我们可以不使用复制，而是在原有的基础上修改。

我们查询的是 max⁡j[tj−depth(j)]\max_{j}\Big[t_j-depth(j)\Big]maxj[tj−depth(j)] ，然而 depth[father(j)]=depth(j)−1depth[\text{father}(j)]=depth(j)-1depth[father(j)]=depth(j)−1 ，所以在 father(j)\text{father}(j)father(j) 上的 tjt_jtj 限制，可以完美的干掉 jjj 。

然后我们就可以用平衡树了。每个重链开一个平衡树，支持三种操作：

区间修改：将键值减一。
区间查询：查询区间最大值。
插入：插入一个值。

然后你就只好手写了。复杂度是 O(nlog⁡2n)\mathcal O(n\log^2 n)O(nlog2n) 的——但是应该是达不到的。

代码

根节点的限制，每次都要增大一，不要忘记！

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;
inline int readint(){int x; scanf("%d",&x); return x;
}
# define int long long // stupid trick
# define MB template<class T>
MB void getMin(T &a,const T &b){ if(a > b) a = b; }
MB void getMax(T &a,const T &b){ if(a < b) a = b; }
# undef MB // 模板 const int MaxN = 100005;int n, m, a[MaxN], head[MaxN], cntEdge;
struct Edge{int to, nxt;Edge(int T=0,int N=0){to = T, nxt = N;}
} edge[MaxN<<1];void addEdge(int a,int b){edge[cntEdge] = Edge(b,head[a]);head[a] = cntEdge ++;edge[cntEdge] = Edge(a,head[b]);head[b] = cntEdge ++;
}
void input(){n = readint(), m = readint();for(int i=1; i<=n; ++i){head[i] = -1;a[i] = readint();}for(int i=1,x; i<n; ++i){x = readint();addEdge(x,readint());}
}int depth[MaxN], fa[MaxN], son[MaxN];
void getInfo(int x){static int size[MaxN] = {0};size[x] = 1, son[x] = 0;for(int i=head[x]; ~i; i=edge[i].nxt)if(edge[i].to != fa[x]){depth[edge[i].to] = depth[x]+1;fa[edge[i].to] = x;getInfo(edge[i].to);size[x] += size[edge[i].to];if(size[son[x]] < size[edge[i].to])son[x] = edge[i].to;}
}
int topChain[MaxN];
void chainSplit(int x,int tc){topChain[x] = tc;if(son[x] != 0) chainSplit(son[x],tc);for(int i=head[x]; ~i; i=edge[i].nxt)if(edge[i].to != son[x] and edge[i].to != fa[x])chainSplit(edge[i].to,edge[i].to);
}template<class T> struct Pair{T first, second;Pair(){ }Pair(const T &a,const T &b){first = a, second = b;}T& operator[](const int &x){if(x == 0) return first;else return second;} // 高档pair<T,T>：因为专一，所以专业
};
class Treap{struct Node{int id, data, maxV, prio;Pair<Node*> son; int lazy;Node(int ID,int DATA){id = ID, data = DATA;maxV = data-id, prio = rand();son[0] = son[1] = nullptr;}void pushUp(){maxV = data-id;for(int i=0; i<2; ++i)if(son[i] != nullptr)getMax(maxV,son[i]->maxV);}};void addNode(Node* o,int v){if(o == nullptr) return ;o->id += v, o->lazy += v, o->maxV -= v;}void pushDown(Node* o){if(o->lazy != 0){for(int i=0; i<2; ++i)addNode(o->son[i],o->lazy);o->lazy = 0;}}Node* root;Pair<Node*> split(Node* o,int X){if(o == nullptr) return Pair<Node*>(o,o);pushDown(o); int d = o->id <= X;auto p = split(o->son[d],X);o->son[d] = p[d^1], p[d^1] = o;o->pushUp(); return p;} // 小于等于X的分出来 Node* merge(Node* a,Node* b){if(a == nullptr) return b;if(b == nullptr) return a;pushDown(a), pushDown(b);if(a->prio < b->prio){b->son[0] = merge(a,b->son[0]);b->pushUp(); return b;}else{a->son[1] = merge(a->son[1],b);a->pushUp(); return a;}}int dispose(Node* o){ // return max(data)if(o == nullptr) return 0;int res = o->data;for(int i=0; i<2; ++i)getMax(res,dispose(o->son[i]));delete o; return res;}
public:void insert(int ID,int DATA){auto rp = split(root,ID);auto lp = split(rp[0],ID-1);getMax(DATA,dispose(lp[1]));lp[1] = new Node(ID,DATA);root = merge(merge(lp[0],lp[1]),rp[1]);}void add(int L,int R){auto rp = split(root,R);auto lp = split(rp[0],L-1);addNode(lp[1],-1); // 让深度减一 root = merge(merge(lp[0],lp[1]),rp[1]);}int Query(int L,int R){auto rp = split(root,R);auto lp = split(rp[0],L-1);int res = 0;if(lp[1] != nullptr)res = lp[1]->maxV;root = merge(merge(lp[0],lp[1]),rp[1]);return res;}int find(int ID){auto rp = split(root,ID);auto lp = split(rp[0],ID-1);int res = dispose(lp[1]); // 边查边删 root = merge(lp[0],rp[1]);return res; // return max(data)}
} tree[MaxN];
vector<pair<int,int>> path;
int work(int x){int res = 0; path.clear();for(int tc; x!=0; x=fa[tc]){tc = topChain[x];getMax(res,tree[tc].Query(depth[tc],depth[x]));path.push_back(make_pair(tc,x));}while(not path.empty()){auto it = path.back(); path.pop_back();x = it.first; int y = it.second;int sy = tree[x].find(depth[x]);if(sy != 0 and fa[x] != 0)tree[topChain[fa[x]]].insert(depth[fa[x]],sy);if(fa[x] == 0) tree[x].insert(depth[x],sy+1);tree[x].add(depth[x]+1,depth[y]);}return res;
}
void solve(){getInfo(m), chainSplit(m,m);int ans = 0;for(int i=1; i<=n; ++i){int g = work(i)+depth[i]+a[i]+1;getMax(ans,g); // finish at time "g"tree[topChain[i]].insert(depth[i],g);}printf("%lld\n",ans);
}signed main(){input(), solve();return 0;
}

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