最优化方法：七、动态规划

主要参考书目：

最优化方法及其应用/郭科，陈聆，魏友华.-北京：高等教育出版社,2007.7(2013.7重印)

基本原理

这一部分的描述比较数学化，这里完全照搬书本。

实例一、楼梯问题

问题描述
一个人爬楼梯，每次只能爬一个或两个台阶，假设有n个台阶，那么这个人有多少种不同的爬楼梯方法。
思路分析
该问题并不涉及优化，而是方法计数。
逆序考虑该问题，要上到第n层，一定是从第n-1层爬一级或者从n-2层爬两级。
则可得到上n层台阶的方法f(n)=f(n−1)+f(n−2),n>2f(n)=f(n−1)+f(n−2),n>2f(n)=f(n-1)+f(n-2),n>2
而f(1)=1,f(2)=2.f(1)=1,f(2)=2.f(1)=1,f(2)=2.

代码实现
Python

def ladder(n):if n==1:return [1]elif n==2:return [1,2]rel= [0]*(n+1)rel[0]=0rel[1]=1rel[2]=2for i in range(3,n+1):rel[i]=rel[i-1]+rel[i-2]return rel[1:]print(ladder(5))
input()

实例二、背包问题

问题描述
某人拥有一个容量为V的背包，有一天他找到了一个宝藏，该宝藏有n个，其价值为v[n]，所需容量为w[n]，求该人如何选择带走的东西能使利益最大化？
思路分析
不妨把问题具体化：

V=120;n=5;w=[40,50,70,40,20];v=[10,25,40,20,10].V=120;n=5;w=[40,50,70,40,20];v=[10,25,40,20,10].

V=120;\\ n=5;\\ w=[40,50,70,40,20];\\ v=[10,25,40,20,10].
该问题其实是一个0-1规划:

max(10x1+25x2+40x3+20x4+10x5)s.t. 40x1+50x2+70x3+40x4+20x5≤120xi=0 or 1;max(10x1+25x2+40x3+20x4+10x5)s.t.40x1+50x2+70x3+40x4+20x5≤120xi=0or1;

max(10x_1+25x_2+40x_3+20x_4+10x_5)\\ s.t.\ \ \ 40x_1+50x_2+70x_3+40x_4+20x_5 \le 120 \\ x_i =0\ or\ 1;
此处仍用动态规划的方法解决该问题，考虑动态规划问题中的要素：
阶段：考虑第k个物品是否放入，即是第k个阶段。
状态：当前背包所剩容量，当前决定到哪一个物品即是当前的状态sksks_k。
决策：当前这个物品要还是不要ukuku_k。
策略：当前物品及当前物品以后的物品要还是不要pk,npk,np_{k,n}。
状态转移方程：当前的决策会使当前状态变为下一阶段的状态：
```
if u_k==1s_(k+1)=s_k+[-1,-w[k]]
elseif u_k==0`s_(k+1)=s_k+[-1,0]
```
阶段指标函数：即第k次决策所带来的收益dkdkd_k，放入就是v[k]，不放入就是0。
过程指标函数：即第k次决策及其以后使用某策略获得的收益Vk,nVk,nV_{k,n}。
最优指标函数：fk=max(Vk,n)fk=max(Vk,n)f_k=max(V_{k,n})。
不难看出，对于该问题：

f(n,V)=max(f(n−1,V−w(n))+v(n),f(n−1,V));f(n,V)=max(f(n−1,V−w(n))+v(n),f(n−1,V));

f(n,V)=max(f(n-1,V-w(n))+v(n),f(n-1,V));
特别地，

f(1,V)={0, V<w[1]v[1], V≥w[1]f(1,V)={0,V<w[1]v[1],V≥w[1]

f(1,V)=\left\{\begin{matrix} 0,\ V

代码实现
Python

import numpy as npdef bag(i,V):w=[0,40,50,70,40,20]v=[0,10,25,40,20,10]choose=[0,0,0,0,0,0]if i == 1:if V >= 40:choose[1]=1return [v[i],choose]if V < 40:choose[1]=0return [0,choose]choose[i]=1if V >= v[i]:ret0=bag(i-1,V-w[i])[0]+v[i]ret1=np.array(bag(i-1,V-w[i])[1])+np.array(choose)ret1=ret1.tolist()if ret0 < bag(i-1,V)[0]:ret0=bag(i-1,V)[0]ret1=bag(i-1,V)[1]return [ret0,ret1]return bag(i-1,V)print (bag(5,120))
input ()

实例三、最短路问题

问题描述
在有n个节点的网络中求i,j两点间的最短路径。

思路分析
首先不考虑含回路的路线，含回路的路线必定不是最短路。
(1)函数迭代法

编程实现(matlab)

function f = TheShortestWay(c,n)
len_n=size(c,1);
c_std=std(c,n,len_n);
for i=2:len_n-1f_old=c_std(len_n,:);f_tmp=repmat(f_old',1,len_n);f_new=min(f_tmp+c_std);if f_new==f_oldbreak;endc_std(len_n,:)=f_new;
end
f=rstd(f_new,n,len_n);%%std.m
function c_std = std(c,n,len_n)
%将目标点换为最后一个点
c_std=c;
c_std(:,len_n)=c(:,n);
c_std(:,n)=c(:,len_n);
tmp=c_std;
c_std(len_n,:)=tmp(n,:);
c_std(n,:)=tmp(len_n,:);
end%%rstd.m
function f=rstd(f_new,n,len_n)
f=f_new;
f(len_n)=f_new(n);
f(n)=f_new(len_n);
end

(2)策略迭代法

如果初始策略是直接前往目的点则策略迭代与函数迭代相同。

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