斜率优化理解【16年沈阳区域赛 The Elder 】

举个例子来理解

16年沈阳区域赛【树形dp+斜率优化】

题意：

给你n个点，n-1条边的树。每条边有一个权值w。给你一个值p。

1号节点为根节点。求1号点到所有节点的路径中的最小权值的最大值。

权值计算方法：将这条路可以一次走完，权值是(dis[u]-dis[1])*(dis[u]-dis[1])，也可以分段走完，每经过一个点权值加p,假如经过一个点x,那么权值可以是(dis[u]-dis[x])*(dis[u]-dis[x])+p+(dis[x]-dis1])*(dis[x]-dis1])

如果一个一个找分段的点就是O(N^2),那么可以用斜率优化的方法

终点是u,如果v点比w点作为暂停的点更优，那么dp[i]是到达i的的最小的权值

dp[v]+p+(dis[u]-dis[v])*(dis[u]-dis[v])<=dp[w]+p+(dis[u]-dis[w])*(dis[u]-dis[w]);

dp[v]+dis[u]^2+dis[v]^2-2*dis[u]*dis[v]<=dp[w]+dis[u]^2+dis[w]^2-2*dis[u]*dis[w];

dp[v]+dis[v]^2-2*dis[u]*dis[v]<=dp[w]+dis[w]^2-2*dis[u]*dis[w];

dp[v]+dis[v]^2-dp[w]-dis[w]^2<=2*dis[u]*(dis[v]-dis[w]);

不妨假设f[x]=dp[x]+dis[x]^2;

那么 f[v]-f[w]<=2*dis[u]*(dis[v]-dis[w]);

假设某点是（dis[x],f[x]）,那么就是斜率问题了，当且仅当v>w且时v点更新u，比w点更新w优。

这时候就需要维护凸包了：

维护凸包（下凸）原因：

假设存在这样的三个点

,很明显他们存在这样的关系。

那么他们跟2*dis[u]会存在三种可能的关系：

1.，此时i比j优，j比k优

2.此时i比j优，k比j优

3.此时j比i优，k比j优

综上所述j不会是最优，所以要维护一个凸包（下凸）。

假如

每次在得到一个新的状态的时候，由于dis[]的单调性，它的位置必然是在这个半凸壳的右端处。由于dis[]的单调性，f[]也是满足单调递增，这样就可以用一个单调队列来维护半凸壳上的点。

队头的维护：（当l和(l+1)斜率小于2*dis[u]，删掉l，因为(l+1)更优）

while(l<r&&gety(q[l+1],q[l])<=2*dis[u]*getx(q[l+1],q[l])) l++;

队尾维护：（维护斜率的增长，此时这三个点从左到右(r-1),r,u,如果不是单调递增的,r不会是优的，所以删掉）

    while(l<r&&getx(u,q[r])*gety(q[r],q[r-1])>=gety(u,q[r])*getx(q[r],q[r-1])) r--;

1. 检查队头的两个元素q[l]和q[l+1]，通过上面的斜率检查，如果q[l+1]比q[l]更优，那么就把q[l]出队。

2. 直接取队头的元素为目标状态，进行状态转移，计算出f[u]。

3. 将u插入队尾。插入之前需要检查三个状态q[r-1], q[r], u是否满足斜率单调递增，若不满足则将q[r]出队。

需要注意的是，由于每个节点可能有多个子节点，因此每次转移之后要将队尾恢复为原来的元素。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL
using namespace std;
const int maxn=200010;
int n,m,k,x,y,s;
ll ans,tmp,cnt,p,aa;
ll zt[maxn],l,r;
struct node
{int to,nex;ll w;
}a[maxn];
int he[maxn],tot,q[maxn];
ll dp[maxn],dis[maxn];
void add(int u,int v,ll w)
{a[tot].to=v;a[tot].w=w;a[tot].nex=he[u];he[u]=tot++;
}
void init()
{tot=r=0;l=1;memset(he,-1,sizeof(he));memset(dis,0,sizeof(dis));ans=0;dp[1]=q[0]=0;
}
ll gety(int u,int v)
{return dp[u]+dis[u]*dis[u]-dp[v]-dis[v]*dis[v];
}
ll getx(int u,int v){return dis[u]-dis[v];}
ll getdp(int u,int v){return dp[v]+p+(dis[u]-dis[v])*(dis[u]-dis[v]);}void getpre(int u,int fa)
{for(int i=he[u];i!=-1;i=a[i].nex){int v=a[i].to;if(v==fa) continue;dis[v]=dis[u]+a[i].w;// cout<<v<<" "<<dis[v]<<endl;getpre(v,u);}
}
void dfs(int u,int fa,int l,int r)
{int pre=-1;while(l<r&&gety(q[l+1],q[l])<=2*dis[u]*getx(q[l+1],q[l])) l++;//cout<<dp[u]<<endl;dp[u]=min(dp[u],getdp(u,q[l]));while(l<r&&getx(u,q[r])*gety(q[r],q[r-1])>=gety(u,q[r])*getx(q[r],q[r-1])) r--;pre=q[++r];q[r]=u;ans=max(ans,dp[u]);for(int i=he[u];i!=-1;i=a[i].nex){int v=a[i].to;if(v==fa) continue;dfs(v,u,l,r);}if(pre!=-1) q[r]=pre;//恢复队尾
}
int main()
{int T,cas=1;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%lld",&n,&p);init();for(int i=0;i<n-1;i++){scanf("%d%d%lld",&x,&y,&aa);add(x,y,aa);add(y,x,aa);}getpre(1,-1);for(int i=1;i<=n;i++)dp[i]=dis[i]*dis[i];dfs(1,-1,1,0);printf("%lld\n",ans);//  if(flag) puts("Yes"); else puts("No");}return 0;
}

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