有关凸集的证明例题_关于凸集、凸函数的一些证明
Problem 1:
是凸集，闭包
也是凸集。
Proof：
则：
取极限，有：
得证命题：
Problem 2:
非空开凸集，
是
上可微分函数，
作为凸函数的充要条件：
Proof：
必要性：
凸函数，有：
Because：
If
无穷小
充分性：
最后得到：
Problem 3：
非空开凸集，
是定义在
上的二次可微函数，
是凸函数的充要条件是在S上每一点的Hessian矩阵半正定。
Proof：
充分性，设Hessian矩阵
在每一点
半正定，考虑
中值定理：
假设可知：
凸性得证。
必要性：
Problem 4:
Problem 5:
是非空的闭凸集，
，它与
距离最短，
与
距离最短的充要条件：
Proof：
(1)设
(2)
(3)证明Caucy序列，存在极限
3.1. 平行四边形法则：
足够大，
Cauchy序列被证明。
反证法证明唯一性：
Problem 6:
是非空的闭凸集，
，
it makes
则存在超平面，
Proof：
凸闭集，
由Problem 5证明得到：
又因为：
代入到：
完成证明：
进一步，可以得到Farkas定理，
设
我们有
该定理在线性规划和非线性规划中使用较多。
Problem 7:
处存在超平面
与非零向量
，使得：
Proof：
1)因为
，存在序列，使得
2)因为：
则有：
3)
有解，故存在收敛子序列，使其范数极限为1。
Problem 8:
凸集分离定律：
非空凸集，如果
，则存在分离超平面
, 存在非零向量
，使得
Proof：
1)设
2)因为是凸集，
3)
4)得到
5)并推论得到
凸集强分离定律：
非空闭凸集，
有界，如果
，则存在超强分离超平面
, 存在非零向量
，使得:
Proof:
1)
2)可以先证明S是闭集。
3)
，
4)证明
是紧致的，存在收敛子序列
，
5)再因为
，得到
趋向
，同时
也是闭的，
6)
7)由Problem 6证明，存在非零向量
，使得:
8)证明了：
以上题目来自袁亚湘《最优化理论与方法》，科学出版社，1997， 北京。
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