1、传递函数

传递函数是指线性系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。记作：
G(s)=Y(s)X(s)G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}G(s)=X(s)Y(s)
Y(s) 为输出量的拉氏变换，X(s)为输入量的拉氏变换；

2、理想运放的两种模型

①时域模型

V_out(t) = A × [ V₊(t) - V_-(t) ] ;
A 为运放的开环增益, 理想状态下：A → +∞；

②S域（复频域）模型

V_out(s) = G × { V₊(s) + [ -V_-(s) ] } ; 同理，G→+∞ ;

3、带有负反馈的两种模型

这里以最简单的形式来说明：只有单端（同相输入端）输入，单端输出，一条纯阻态反馈回路。

①带有负反馈的时域模型

由上图知，列式如下：

A × [V₊(t) - F × V_out(t)] = V_out(t);
解得：Vout(t)V+(t)=A1+AF\frac{V_{out}(t)}{V_{+}(t)} =\frac{A}{1+AF}V+(t)Vout(t)=1+AFA
即：Vout(t)V+(t)=11A+F\frac{V_{out}(t)}{V_{+}(t)} =\frac{1}{\frac{1}{A}+F}V+(t)Vout(t)=A1+F1
理想状态下，A → +∞，也就是说，1A\frac{1}{A}A1→0：
A(t)=Vout(t)V+(t)∣A→+∞=1FA_{(t)}=\frac{V_{out}(t)}{V_{+}(t)}\vert_ {A → +∞}= \frac{1}{F}A(t)=V+(t)Vout(t)∣A→+∞=F1
由此公式得到深度负反馈的实质：表明放大倍数几乎决定于反馈网络，与其他条件无关。

②带有负反馈的S域模型

列式如下：

G × { V₊(s) + [- F × V_out(s)] } = V_out(s) ;
解得:Vout(s)V+(s)=G1+GF\frac{V_{out}(s)}{V_{+}(s)}= \frac{G}{1+GF}V+(s)Vout(s)=1+GFG
即：G(s)=Vout(s)V+(s)=11G+FG(s)=\frac{V_{out}(s)}{V_{+}(s)}= \frac{1}{\frac{1}{G}+F}G(s)=V+(s)Vout(s)=G1+F1
G → +∞:G(s)=Vout(s)V+(s)=11G+F∣G→+∞=1FG(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{+}(s)}= \frac{1}{\frac{1}{G}+F}\vert_{G→+∞} = \frac{1}{F}G(s)=V+(s)Vout(s)=G1+F1∣G→+∞=F1

4、传递函数的求解

由上面推出的G(s)知，反馈量为R₂上分得的电压，列式得：
G×V+(s)+G×[−Vout(s)×R2R1+R2]=Vout(s)G × V_+(s) + G × [- V_{out}(s) ×\frac{R_2}{R_1 + R_2} ] = V_{out}(s)G×V+(s)+G×[−Vout(s)×R1+R2R2]=Vout(s)

即传递函数为:G(s)=Vout(s)V+(s)=1+R1R2G(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{+}(s)} = 1+\frac{R_1}{R_2}G(s)=V+(s)Vout(s)=1+R2R1
如若反馈回路中有其他容性或者感性元件，分析方法与上述类似。.

5、注意

上面G(s)=Vout(s)V+(s)G(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{+}(s)} G(s)=V+(s)Vout(s)
可变形为：Vout(s)=V+(s)×G(s)V_{out}(s) = V_+(s) × G(s)Vout(s)=V+(s)×G(s)
即：Vout(s)=V+(s)×(1+R1R2)V_{out}(s) = V_+(s) × (1 + \frac{R_1}{R_2})Vout(s)=V+(s)×(1+R2R1)
G(s)为常数，取等式两边拉普拉斯逆变换，得到时域方程：
Vout(t)=V+(t)×(1+R1R2)V_{out}(t) = V_+(t) × (1 + \frac{R_1}{R_2})Vout(t)=V+(t)×(1+R2R1)
这里就比较容易混淆了，按照下图所示：

时域中：
Vout(t)=V+(t)∗H(t)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅H(t)为系统的冲激响应V_{out}(t) = V_+(t) * H(t) ······· H(t)为系统的冲激响应Vout(t)=V+(t)∗H(t)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅H(t)为系统的冲激响应
频域中：
Vout(s)=V+(s)×G(s)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅G(s)为传递函数V_{out}(s) = V_+(s) × G(s) ···············G(s)为传递函数 Vout(s)=V+(s)×G(s)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅G(s)为传递函数
又：
Vout(t)=V+(t)×（1+R1R2）V_{out}(t) = V_+(t) × （ 1 + \frac{R_1}{R_2} ）Vout(t)=V+(t)×（1+R2R1）
所以很多人，就把1+R1R21+\frac{R_1}{R_2}1+R2R1与H(t)弄混淆，当成同一个东西。其实也可以想一想，输入信号V+(t)V_+(t)V+(t)与1+R1R21+\frac{R_1}{R_2}1+R2R1相乘，V+(t)V_+(t)V+(t)与H(t)相卷积，前后二者得到的结果并不一样，这样就可以分辨清楚了。

其实:H(t)=[1+R1R2]δ(t)H(t) = [ 1+\frac{R_1}{R_2} ] \delta(t)H(t)=[1+R2R1]δ(t)
我们可以推算一遍：Vout(t)=V+(t)∗H(t)V_{out}(t) = V_+(t) * H(t) Vout(t)=V+(t)∗H(t)则：
Vout(t)=∫+∞−∞V+(τ)×H(t−τ)dτV_{out}(t) =\int_{+∞}^{-\infty} V_+(\tau) × H(t - \tau) d\tauVout(t)=∫+∞−∞V+(τ)×H(t−τ)dτ
Vout(t)=∫+∞−∞V+(τ)×[1+R1R2]δ(t−τ)dτV_{out}(t) =\int_{+∞}^{-\infty} V_+(\tau) × [ 1+\frac{R_1}{R_2} ] \delta(t-\tau) d\tauVout(t)=∫+∞−∞V+(τ)×[1+R2R1]δ(t−τ)dτ
Vout(t)=(1+R1R2)∫+∞−∞V+(τ)×δ(t−τ)dτV_{out}(t) =(1+\frac{R_1}{R_2} )\int_{+∞}^{-\infty} V_+(\tau) × \delta(t-\tau) d\tauVout(t)=(1+R2R1)∫+∞−∞V+(τ)×δ(t−τ)dτ
由冲激函数的性质得到
∫+∞−∞V+(τ)×δ(t−τ)dτ=V+(t)\int_{+∞}^{-\infty} V_+(\tau) × \delta(t-\tau) d\tau = V_+(t)∫+∞−∞V+(τ)×δ(t−τ)dτ=V+(t)
因此：
Vout(t)=V+(t)×（1+R1R2）V_{out}(t) = V_+(t) × （1 + \frac{R_1}{R_2} ）Vout(t)=V+(t)×（1+R2R1）

如果有什么疑问，可以在下方提出，欢迎各位大佬批评指正！！

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