JZOJ6675. 【2020.05.30省选模拟】交通网络

Description

n < = 5 e 5 n<=5e5 n<=5e5

Solution

O(n^4)

直接放弃思考矩阵树即可过 n < = 80 n<=80 n<=80，获得23分。

O(n^2)

考虑先枚举一些特殊边，将n个点分成m个联通块，再用prufer序列计算这个完全图的方案数： n m − 2 ∏ i = 1 m s i n^{m-2}\prod_{i=1}^ms_i nm−2∏i=1msi
考虑prufer序列中的一个值代表了一条边，且长度为 m − 2 m-2 m−2，那么连边的时候就可以有n个顶点，即 n m − 2 n^{m-2} nm−2。又因为prufer序列出现次数为度数-1，所以每一个联通块只考虑到了度数-1次顶点的选择，所以还有 s i si si的贡献没有计算到。
直接DP即可O(n^2)

O(nlogn)

∑ s ∏ i = 1 m s i = ( ∑ i > = 0 i x i ) m [ x n ] = ( x ( 1 − x ) 2 ) m [ x n ] = 1 ( 1 − x ) 2 m [ x n − m ] = ( 1 + x + x 2 + x 3 + . . . ) 2 m [ x n − m ] = C n − m + 2 m − 1 2 m − 1 = C n + m − 1 2 m − 1 \sum_{s}\prod_{i=1}^ms_i=(\sum_{i>=0}ix^i)^m[x^n]=(\frac{x}{(1-x)^2})^m[x^n]=\frac{1}{(1-x)^{2m}}[x^{n-m}]=(1+x+x^2+x^3+...)^{2m}[x^{n-m}]=C_{n-m+2m-1}^{2m-1}=C_{n+m-1}^{2m-1} ∑s∏i=1msi=(∑i>=0ixi)m[xn]=((1−x)2x)m[xn]=(1−x)2m1[xn−m]=(1+x+x2+x3+...)2m[xn−m]=Cn−m+2m−12m−1=Cn+m−12m−1
因此确定m个联通快的方案数就是上面的东西乘上 n m − 2 n^{m-2} nm−2。
但是这是至少 n − m n-m n−m条特殊边的方案数,设至少n条方案为 f ( n ) f(n) f(n)，则答案要求的恰好 g ( n ) g(n) g(n)，有 f ( n ) = ∑ m > = n C m n ∗ g ( m ) f(n)=\sum_{m>=n}C_m^n*g(m) f(n)=∑m>=nCmn∗g(m).
则 g ( n ) = ∑ m > = n C m n ( − 1 ) m − n f ( m ) g(n)=\sum_{m>=n}C_{m}^{n}(-1)^{m-n}f(m) g(n)=∑m>=nCmn(−1)m−nf(m)，卷积即可求出对应位置的答案。

O(n)

我们先考虑 2 x 2^x 2x为权值怎么办，那么相当于任意一个恰好x条的都会被它的任意一个子集算一次，答案实际上就是 ∑ f ( i ) \sum f(i) ∑f(i)。
再考虑权值为 x 2 x x2^x x2x怎么做， x 2 x = 2 ∗ x 2 x − 1 x2^x=2*x2^{x-1} x2x=2∗x2x−1，后者就是 2 ∗ ∑ i = 0 x i C x i 2*\sum_{i=0}^xiC_x^i 2∗∑i=0xiCxi。
原本计算 2 x 2^x 2x时，是 ∑ i = 0 x C x i \sum_{i=0}^xC_x^i ∑i=0xCxi，那么现在这个答案显然就是 2 ∗ ∑ f ( i ) ∗ i 2*\sum f(i)*i 2∗∑f(i)∗i

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 998244353
#define maxn 1000005
using namespace std;int n,i;
ll fct[maxn],invf[maxn],ans,f[maxn],mul[maxn];ll ksm(ll x,ll y){ll s=1;for(;y;y/=2,x=x*x%mo) if (y&1)s=s*x%mo;return s;
}ll C(int n,int m){return fct[n]*invf[n-m]%mo*invf[m]%mo;}int main(){scanf("%d",&n);fct[0]=1;for(i=1;i<=2*n;i++) fct[i]=fct[i-1]*i%mo;invf[2*n]=ksm(fct[2*n],mo-2);for(i=2*n-1;i>=0;i--) invf[i]=invf[i+1]*(i+1)%mo;mul[0]=1;for(i=1;i<=n;i++) mul[i]=mul[i-1]*n%mo;f[n-1]=1;for(i=2;i<=n;i++) f[n-i]=C(n+i-1,2*i-1)*mul[i-2]%mo;for(i=0;i<n;i++) ans+=f[i]*i%mo;printf("%lld",ans*2%mo);
}

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