链接

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/9984/F

题意

n n n 个人， m m m 个物品，每个物品有一个权值，每个物品可以分给 1 1 1 或 2 2 2 个人。

物品和人是一对一的关系，请问如何分配能使权值和最大？

思路

将物品当做边，若可分配给两个人，则这两个人为这条边的两个顶点，否则为一个自环。

每条边只能匹配一个点，我们要做的是尽量让更多的点都有一条匹配边，并使边权和最大。

我们可以用并查集维护，在并查集中每个集合相当于一棵树。

两棵树合并仍然是一棵树，总存在一个点没有匹配边。

在一棵树中加入一条边，变为基环树，每个点都有一条匹配边。

基环树与树合并仍然是基环树。

因此可以按照边权从大到小考虑：

两个点在一个集合：
- 该集合为树，加入一条边，每个点都能匹配一条边，变为基环树；
- 该集合为基环树，无法加入边，因为每个点都能匹配一条边。
两个点不在一个集合：
- 两个集合都为树，加入一条边仍然为树；
- 一个集合为树，一个集合为基环树，加入一条边，每个点都能匹配一条边，合并后为基环树；
- 两个集合都为基环树，无法加入边，因为每个点都能匹配一条边。

按照上述策略，只要能够加入边，那么这条边必被选。

设这条边权较大的边为 e e e，两个顶点为 u , v u,v u,v，假设按照上述策略，在能够加入边 e e e 的情况下，没有加入边 e e e：

u u u 所在集合为树， v v v 所在集合为树，加入边 e e e 能够多一个点匹配一条边，边权和变大；
u u u 所在集合为树， v v v 所在集合为基环树，加入边 e e e 能够多一个点匹配一条边，边权和变大；
u u u 所在集合为基环树， v v v 所在集合为基环树，从环中去掉边权最小的边，加入边 e e e，仍然为基环树，边权和变大。

因此，只要能够加入边，那么这条边必被选。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define SZ(x) (int)(x).size()
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
#define PB push_back
#define EB emplace_back
#define MP make_pair
#define FI first
#define SE second
using namespace std;
typedef double DB;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
typedef vector<PII> VPII;
//head
const int N=1e5+5;
int n,m,fa[N];
LL res;
bool st[N];
struct E {int u,v,w;E() {}E(int u,int v,int w):u(u),v(v),w(w) {}bool operator < (const E &T) const {return w>T.w;}
};
vector<E> e;
int find(int x) {return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y,int v) {int tx=find(x),ty=find(y);if(st[tx]&&st[ty]) return;res+=v;if(st[tx]&&!st[ty]) fa[ty]=tx;else if(!st[tx]&&st[ty]) fa[tx]=ty;else if(tx==ty) st[tx]=true;else fa[tx]=ty;
}
int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++) {int k,u,v,w;cin>>k>>u;if(k==2) cin>>v;cin>>w;if(k==1) e.EB(u,u,w);else e.EB(u,v,w);}sort(ALL(e));for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;for(auto x:e) merge(x.u,x.v,x.w);cout<<res<<'\n';return 0;
}

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