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卡丹公式

如果用现在的数学语言和符号,卡丹公式的结论可以借助于下面这样一种最基本的设想得出.

假如给我们一个一般的三次方程：

ax3+3bx2+3cx+d=0 (27)

如果令

x=y-b/a

我们就把方程(27)推导成

y3+3py+2q=0 (28)

其中 p=c/a-b2/a2,2q=2b3/a3-3bc/a2+d/a .

借助于等式

y=u-p/u

引入新变量u .把这个表达式带入(28),得到：

(u3)2+2qu3-p3=0 (29)

由此得

u3=-q±√(q2+p3),

于是

y=3√(-q±√(q2+p3))-p/3√(-q±√(q2+p3)) .

=3√(-q+√(q2+p3))+3√(-q-√(q2+p3)) .

(最后这个等式里的两个立方根的积等于-p .)

这就是著名的卡丹公式.如果再由y转到x,那么,就能得到一个确定一般的三次方程的根的公式.

那个如此无情底对待塔尔塔利亚的年轻人原来不只是个能发表暧昧的长篇演讲的人.他通晓数学,就像通晓一群质朴的人的风俗习惯那样容易.费拉里知道了三次方程的解法之后,确实过了不长时间,他就找到了四次方程的解法.正像费拉里在他和塔尔塔利亚争论时所宣称的那样,卡丹把这一方法写进自己的书里了.

这种方法是怎样得到的呢?

我们在前面已经看到,利用并不复杂的代换可以把三次方程(28)归结为关于u3的二次方程(29).费拉里现在去寻找把一般四次方程归结为一个三次方程的可能性,这是十分自然的.设

ax4+4bx3+6cx2+4dx+e=0 (30)

是一个一般的四次方程.如果令

x=y-b/a

那么,方程(30)可以归结为

y4+2py2+2qy+r=0 (31)

其中p,q,r是一些取决于a,b,c,d,e的系数.容易看出,这个方程可以写成这样的形式：

(y2+p+t)2=2ty2-2qy+t2+2pt+p2-r (32)

确实,如果把括号打开,那么,所有含t的项互相抵消,我们就能回到方程(31).

我们这样选取参数t,使方程(32)的右边是关于y的完全平方.众所周知,位于等号右边的(关于y的)三项式系数判别式为0,是这个完全平方的充分必要条件,即：

q2-2t(t2+2pt+p2-r)=0 (33)

我们得到了这样一个已经能解的一般的三次方程.求出它的任何一个根,并代入形为

(y2+p+t)2=2t(y-q/2t)2

的方程(32).由此得

y2±√(2t)y+p+t±q/√(2t)=0 .

这一切本来是很简单的,当时这一发现却和一些戏剧性的,有时还很滑稽的事件纠缠在一起了.但是不管怎样,这些事件作为被赋予高度浪漫主义的荣誉的事件,将永远留在我们的记忆中.这是探索的浪漫主义精神,建立科学功勋的浪漫主义精神.

三次方程和四次方程已经解出来了.这两种方程的根也和一次、二次方程一样,可以通过这些方程的系数,利用有限次的加、减、乘、除、乘方和适当的开方运算来表示.可是,如果谁都对于解高于四次的方程引不起兴趣来,大概每个人都会认为这是不可思议的怪事.如果在终于解决了三次和四次方程的根的问题之后,不再想知道怎样去解五次、六次以至更高次的方程,那么,这个数学家就不成其为数学家了.

作业帮用户

2017-10-01

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