补货中估计提前期不确定的需求分布公式推导

具体的公式

这部分内容来自供应链管理中的第十二章安全库存中的结论

假设第iii期的产品需求服从均值为DiD_iDi、标准差为σi\sigma_iσi的正太分布且各期需求相互独立。假设提前期服从均值为LLL，标准差为sLs_LsL的正太分布。那么，提前期（不确定的）内的总需求服从均值为DLD_LDL、标准差为σL\sigma_LσL的正太分布，其中：
DL=D∗L,σL=LσD2+D2sL2D_L = D * L, \sigma_L = \sqrt{L\sigma_{D}^{2}+D^{2}s_{L}^{2}}DL=D∗L,σL=LσD2+D2sL2

以上公式的具体推导

假定需求量YYY有如下的表达式
Y=X1+⋯+XN,Y = X_1+\dots +X_N, Y=X1+⋯+XN,
其中
Xi∼N(Di,σi2)X_i \sim N(D_i, \sigma_i^{2}) Xi∼N(Di,σi2)
和
N∼N(L,sL2)N\sim N(L,s_L^{2}) N∼N(L,sL2)
的分布。
现在来推到该公式。首先推导条件期望：
E[Y∣N=n]=E[X1+X2+⋯+XN∣N=n]=E[X1+X2+⋯+Xn]=nE[X]E[Y|N=n] = E[X_1+X_2+\dots+X_N|N=n] \\ =E[X_1+X_2+\dots+X_n]\\ =nE[X] E[Y∣N=n]=E[X1+X2+⋯+XN∣N=n]=E[X1+X2+⋯+Xn]=nE[X]

因此可以得到

E[Y∣N]=E[X1+X2+⋯+XN∣N]=E[X1+X2+⋯+XN∣N]=NE[X]E[Y|N] = E[X_1+X_2+\dots+X_N|N] \\ =E[X_1+X_2+\dots+X_N|N]\\ =NE[X] E[Y∣N]=E[X1+X2+⋯+XN∣N]=E[X1+X2+⋯+XN∣N]=NE[X]
最后可以得到
E[Y]=E[E[Y∣N]]=E[NE[X]]=E[N]E[X]=D×LE[Y] = E[E[Y|N]] = E[NE[X]]=E[N]E[X]\\ =D\times L E[Y]=E[E[Y∣N]]=E[NE[X]]=E[N]E[X]=D×L
即提前期（不确定的）内的总需求的期望DL=D×LD_L=D \times LDL=D×L。
下面我们开始得到其方差。
同样我们先对条件形式的求方差
Var(Y∣N=n)=Var(X1+X2+⋯+XN∣N=n)=Var(X1+⋯+Xn∣N=n)=Var(X1+⋯+Xn)=nVar(X)Var(Y|N=n) = Var(X_1+X_2+\dots+X_N|N=n)\\ =Var(X_1+\dots+X_n|N=n)\\ =Var(X_1+\dots+X_n)\\ =n Var(X) Var(Y∣N=n)=Var(X1+X2+⋯+XN∣N=n)=Var(X1+⋯+Xn∣N=n)=Var(X1+⋯+Xn)=nVar(X)
因此可以得到
Var(Y∣N)=NVar(X)Var(Y|N) =N Var(X) Var(Y∣N)=NVar(X)
最后可以得到
Var(Y)=E[Var(Y∣N)]+Var(E[Y∣N])=E[NVar(X)]+Var(NE[X])=E[N]×Var(X)+(E[X])2×Var(N)Var(Y) = E[Var(Y|N)]+Var(E[Y|N])\\ =E[NVar(X)]+Var(NE[X])\\ = E[N]\times Var(X)+(E[X])^{2}\times Var(N) Var(Y)=E[Var(Y∣N)]+Var(E[Y∣N])=E[NVar(X)]+Var(NE[X])=E[N]×Var(X)+(E[X])2×Var(N)
附录（推导全方差公式）
已知方差的定义：
Var(Y)=E[Y2]−(E[Y])2Var(Y) = E[Y^{2}]-(E[Y])^{2}Var(Y)=E[Y2]−(E[Y])2
假设条件概率的方差为(根据定义可以展开)
Var(Y∣X)=E[Y2∣X]−(E[Y∣X])2Var(Y|X)=E[Y^{2}|X]-(E[Y|X])^{2}Var(Y∣X)=E[Y2∣X]−(E[Y∣X])2
那么
E[Var(Y∣X)]=E[E[Y2∣X]]−E[(E[Y∣X])2]=E[Y2]−E[(E[Y∣X])2]E[Var(Y|X)]=E[E[Y^{2}|X]]-E[(E[Y|X])^{2}]\\ = E[Y^{2}]-E[(E[Y|X])^{2}]E[Var(Y∣X)]=E[E[Y2∣X]]−E[(E[Y∣X])2]=E[Y2]−E[(E[Y∣X])2]
并且利用方差的定义
Var(E[Y∣X])=E[(E[Y∣X])2]−(E[E[Y∣X]])2=E[(E[Y∣X])2]−(E[Y])2Var(E[Y|X]) = E[(E[Y|X])^{2}]-(E[E[Y|X]])^{2}\\ = E[(E[Y|X])^{2}]-(E[Y])^{2}Var(E[Y∣X])=E[(E[Y∣X])2]−(E[E[Y∣X]])2=E[(E[Y∣X])2]−(E[Y])2
以上两式相加，即
E[Var(Y∣X)]+Var(E[Y∣X])=E[E[Y2∣X]]−E[(E[Y∣X])2]=E[Y2]−E[(E[Y∣X])2]+E[(E[Y∣X])2]−(E[Y])2=E[Y2]−(E[Y])2=Var(Y)E[Var(Y|X)]+Var(E[Y|X]) = E[E[Y^{2}|X]]-E[(E[Y|X])^{2}]\\ = E[Y^{2}]-E[(E[Y|X])^{2}] + E[(E[Y|X])^{2}]-(E[Y])^{2}\\ = E[Y^{2}]-(E[Y])^{2} \\ =Var(Y) E[Var(Y∣X)]+Var(E[Y∣X])=E[E[Y2∣X]]−E[(E[Y∣X])2]=E[Y2]−E[(E[Y∣X])2]+E[(E[Y∣X])2]−(E[Y])2=E[Y2]−(E[Y])2=Var(Y)