摄像机标定以及镜头畸变

摄像机标定其本质就是计算摄像机的内参和外参。关于标定板上的世界坐标对应到图像像素坐标的过程这里就不做推导，网上太多博客都有详细推导过程。本篇主要说明摄像机标定原理里的几个要点：

1. 外参矩阵所含旋转向量个数

从世界坐标系到摄像机坐标系的坐标变换其实就是刚体变换，三维坐标系的刚体变换，旋转向量一般用3个向量表示，我们在使用平面标定板标定时，为何只使用两个旋转向量呢？因为使用的标定板是个平面，标定板上的角点坐标均在三维坐标系中的一个平面上，为计算方便性，将标定板平面作为XOY平面，直接令Z=0，构成的三维世界坐标系。

我们设二维像素坐标以及对应的齐次坐标表示如下:

设三维世界坐标以及对应的其次坐标表示如下：

我们假设摄像机内参用矩阵A表示，外参矩阵用表示，那么从世界坐标到像素坐标的转换形式如下：

因为使用标定板平面上的坐标系，我们可以视为其上面棋盘格角点的世界坐标的Z全部为0，此时上面的等式简化为：

由此可以看出，平面的棋盘格标定所对应的相机外参，只需要两个旋转向量和一个平移向量，就可以建立与该点在像素坐标系对应像素点的等式。这里想说明的是即使棋盘格上的角点在世界坐标系上的Z坐标为0，但是通过世界坐标系转换到摄像机坐标系，这些点在摄像机坐标系上的Z坐标并非为0。当然，如果手头上有一个并非平面的标定体，但是知道每个标定体上的每个标记的三维坐标，那么同样可以进行标定，只不过此时的旋转向量个数就是3.

2. 比例因子s

根据相机模型进行推导，我们发现推导后的公式里含有一个比例因子s，世界坐标系上的坐标点转换到相机坐标系上，每个点在相机坐标系上都有一个坐标位置，坐标的z值对应的就是比例因子s，一般情况，每个点对应的比例因子s是不等的。我们知道对于一条直线且经过投影中心，那么这条直线上所有点在相机CCD上的投影点都是同一个，但是他们的比例因子s是不同的，因为他们在相机坐标系上的Z值是不同的。所以说，根据图像上的像素点，我们并不能确定该像素点所对应的世界坐标位置，但是我们可以确定该点在世界坐标系上的某一条直线上。

3. 旋转向量的正交性

首先讲解下三维旋转最简单情形，绕坐标轴进行旋转，如图所示：

很容易得到绕Z轴的二维旋转推广到三维：

同理可得到绕X轴旋转公式：

绕Y轴旋转公式：

对于一般情形，对象绕与每个坐标轴均不平行的轴进行旋转，此时，需要进行进行以下步骤：

【1】平移对象，使得旋转轴通过坐标原点；

【2】旋转对象使得旋转轴与某一坐标轴重合；

【3】绕坐标轴完成指定的旋转；

【4】利用逆旋转使旋转轴回到其原始方向；

【5】利用逆平移使旋转轴回到其原始位置；

下面以一个例子说明，将旋转轴变换到Z轴：

假设，，两点确定旋转轴，如果沿着P2到P1的轴进行观察，并且旋转的方向为逆时针方向，则旋转轴向量可以定义为：

沿旋转轴的单位向量为：

其中a、b、c分别是旋转轴的方向余弦：

如下图所示，我们需要将旋转轴u旋转到z轴上

先做平移，将P1移至原点；第二步，将u旋转到xz平面上；第三步，绕y轴旋转到z轴上

其中第二步，将u旋转到xz平面上，需要计算alpha，u在yz平面上的投影为，那么，

其中

又，

得到，所以u到xz平面上的旋转矩阵为：

下一步计算绕y轴的旋转矩阵

旋转角beta为：

又因为：，，得到

所以得到绕y轴的旋转矩阵为：

将旋转轴对齐到Z轴的正方向后，在给定的旋转角theta可以用于关于z轴的旋转：

因此对于任意轴的旋转可以表示为：

得到复合旋转矩阵一种更快但不直观的方法是，利用任意三维旋转的复合旋转矩阵形式：

该矩阵上面的3×3子矩阵是正交的。这意味着该子矩阵的行或列形成了由矩阵R分别绕x、y、z轴旋转的正交单位向量组：

因此，可以考虑由旋转轴定义的局部坐标系，建立以局部坐标向量为列的矩阵。假设旋转轴不平行于任何坐标轴，则可以建立下列局部单位向量组：

即：

我们来计算下复合矩阵：

由此可见上述的复合矩阵与矩阵R是相等的，并且观察上面3×3的子矩阵，无论行向量或列向量，他们都是正交的，可以发现旋转矩阵具有正交性特征。以上是通过一个具体例子来说明旋转矩阵正交性的特点，便于理解。

4.标定原理简介

每幅棋盘格图像上至少有4个角点，那么根据像素坐标系上的对应点坐标和标定板平面上角点对应点的世界坐标，每幅图我们都可以计算出单应性矩阵，根据旋转向量的正交性特征，我们可以列出相应等式，利用多幅图像进而可以列出更多等式，可以求解相机的内参，内参求解后，那么我们可以计算出每幅图所对应的相机外参。至此，似乎觉得摄像机标定已经完成，如果此时打完收工，那只是在理想情况下的摄像机标定，因为摄像机还存在镜头畸变现象，这里需要考虑这种情况。但是在理想情况下所解出来的内参和外参是有用的，这个解可以作为非线性优化算法的初解，因为对于非线性优化算法，一般都需要初解，初解离准确解越近，越容易找到最终的准确解而且优化效率也会更高。所以如果考虑畸变情形，我们仍需要计算出镜头畸变参数的初解，那么镜头畸变参数的初解该如何计算呢，请看下面的畸变校正。

5.畸变校正

只是觉得模拟出畸变模型的人很厉害，我们进行畸变校正，也只是利用已有的模型求解模型参数而已。畸变模型很多，这里我们只对径向畸变进行处理。

假设为点在无畸变情形下的像素坐标系中的坐标，为实际观察到的像素坐标（存在畸变）。相似，令表示点在无畸变情形下在图像坐标系中的坐标，为实际观察到的坐标（存在畸变），对于径向畸变模型而言，图像坐标系上的实际坐标与理想坐标存在关系如下：

根据摄像机模型我们知道像素坐标点与图像坐标系上点之间的关系：

其中alpha和beta均为相机内参。那么，我们可以推导如下：

整理的，

大家或许会存在疑问，如何确定上述等式中除去未知数K1和K2外其他已知变量的值？根据前面的结果，我们已经初步解出了相机的内参和外参，那么我们可以根据标定板上的每个角点的世界坐标去计算在没有畸变情形下所对应图像坐标系上的和像素坐标系上的，而是通过实际拍摄的图像(含有畸变)，计算角点位置得到的，而是相机的内参也是已知的。因此每个世界坐标点，可以得到上述两个等式，由于有多幅标定板图像，比如说m幅，每幅图像上有多个点，比如说n，因此可列等式2mn个。根据投影矩阵，我们可以求解K1、K2.

至此，相机的内参、每幅图像所对应的相机外参以及畸变模型参数均解出了一个初步解，那么后续根据极大使然估计进行最优化，利用初步解反复迭代，最终得到最优参数，来表示相机模型的参数。

欢饮讨论！

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