AdaDelta算法

除了RMSProp算法以外，另一个常用优化算法AdaDelta算法也针对AdaGrad算法在迭代后期可能较难找到有用解的问题做了改进 [1]。

不一样的是，AdaDelta算法没有学习率这个超参数。 它通过使用有关自变量更新量平方的指数加权移动平均的项来替代RMSProp算法中的学习率。

AdaDelta算法也像RMSProp算法一样，使用了小批量随机梯度gt\boldsymbol{g}_tgt按元素平方的指数加权移动平均变量st\boldsymbol{s}_tst。

在时间步0，它的所有元素被初始化为0。给定超参数0≤ρ<10 \leq \rho < 10≤ρ<1（对应RMSProp算法中的γ\gammaγ）
在时间步t>0t>0t>0，同RMSProp算法一样计算

st←ρst−1+(1−ρ)gt⊙gt.\boldsymbol{s}_t \leftarrow \rho \boldsymbol{s}_{t-1} + (1 - \rho) \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t. st←ρst−1+(1−ρ)gt⊙gt.

与RMSProp算法不同的是，AdaDelta算法还维护一个额外的状态变量Δxt\Delta\boldsymbol{x}_tΔxt，其元素同样在时间步0时被初始化为0。我们使用Δxt−1\Delta\boldsymbol{x}_{t-1}Δxt−1来计算自变量的变化量：

gt′←Δxt−1+ϵst+ϵ⊙gt,\boldsymbol{g}_t' \leftarrow \sqrt{\frac{\Delta\boldsymbol{x}_{t-1} + \epsilon}{\boldsymbol{s}_t + \epsilon}} \odot \boldsymbol{g}_t, gt′←st+ϵΔxt−1+ϵ⊙gt,

其中ϵ\epsilonϵ是为了维持数值稳定性而添加的常数，如10−510^{-5}10−5。接着更新自变量：

xt←xt−1−gt′.\boldsymbol{x}_t \leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{g}'_t. xt←xt−1−gt′.

最后，我们使用Δxt\Delta\boldsymbol{x}_tΔxt来记录自变量变化量gt′\boldsymbol{g}'_tgt′按元素平方的指数加权移动平均：

Δxt←ρΔxt−1+(1−ρ)gt′⊙gt′.\Delta\boldsymbol{x}_t \leftarrow \rho \Delta\boldsymbol{x}_{t-1} + (1 - \rho) \boldsymbol{g}'_t \odot \boldsymbol{g}'_t. Δxt←ρΔxt−1+(1−ρ)gt′⊙gt′.

可以看到，如不考虑ϵ\epsilonϵ的影响，AdaDelta算法跟RMSProp算法的不同之处在于使用Δxt−1\sqrt{\Delta\boldsymbol{x}_{t-1}}Δxt−1来替代学习率η\etaη。

实现AdaDelta

AdaDelta算法需要对每个自变量维护两个状态变量，即st\boldsymbol{s}_tst和Δxt\Delta\boldsymbol{x}_tΔxt。

按AdaDelta算法中的公式实现该算法。

def get_data_ch7():  data = np.genfromtxt('data/airfoil_self_noise.dat', delimiter='\t')data = (data - data.mean(axis=0)) / data.std(axis=0)return torch.tensor(data[:1500, :-1], dtype=torch.float32), \torch.tensor(data[:1500, -1], dtype=torch.float32) # 前1500个样本(每个样本5个特征)

%matplotlib inline
import torch
import sysfeatures, labels = get_data_ch7()def init_adadelta_states():s_w, s_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)delta_w, delta_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)return ((s_w, delta_w), (s_b, delta_b))def adadelta(params, states, hyperparams):rho, eps = hyperparams['rho'], 1e-5for p, (s, delta) in zip(params, states):s[:] = rho * s + (1 - rho) * (p.grad.data**2)g =  p.grad.data * torch.sqrt((delta + eps) / (s + eps))p.data -= gdelta[:] = rho * delta + (1 - rho) * g * g

def train_ch7(optimizer_fn, states, hyperparams, features, labels,batch_size=10, num_epochs=2):# 初始化模型net, loss = linreg, squared_lossw = torch.nn.Parameter(torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=(features.shape[1], 1)), dtype=torch.float32),requires_grad=True)b = torch.nn.Parameter(torch.zeros(1, dtype=torch.float32), requires_grad=True)def eval_loss():return loss(net(features, w, b), labels).mean().item()ls = [eval_loss()]data_iter = torch.utils.data.DataLoader(torch.utils.data.TensorDataset(features, labels), batch_size, shuffle=True)for _ in range(num_epochs):start = time.time()for batch_i, (X, y) in enumerate(data_iter):l = loss(net(X, w, b), y).mean()  # 使用平均损失# 梯度清零if w.grad is not None:w.grad.data.zero_()b.grad.data.zero_()l.backward()optimizer_fn([w, b], states, hyperparams)  # 迭代模型参数if (batch_i + 1) * batch_size % 100 == 0:ls.append(eval_loss())  # 每100个样本记录下当前训练误差# 打印结果和作图print('loss: %f, %f sec per epoch' % (ls[-1], time.time() - start))set_figsize()plt.plot(np.linspace(0, num_epochs, len(ls)), ls)plt.xlabel('epoch')plt.ylabel('loss')

train_ch7(adadelta, init_adadelta_states(), {'rho': 0.9}, features, labels)

也可以使用pytorch内置的optim.Adadelta：

train_pytorch_ch7(torch.optim.Adadelta, {'rho': 0.9}, features, labels)

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