这方面的总结一直都有想写，我们先从矩阵的转置和逆谈起。本篇内容整理自网页。

矩阵的转置和逆

给出这部分叙事的主角，矩阵A和矩阵B
A=[1234]B=[123456]A= \begin{bmatrix}1 &2 \\ 3&4 \end{bmatrix} \ \ \ \ \ B= \begin{bmatrix}1 &2 & 3\\ 4&5 &6 \end{bmatrix} A=[1324] B=[142536]

矩阵的创建

在Python中借助Numpy的array对象就可以创建一个二维数组（即矩阵）。

>>> import numpy as np
>>> A = np.array([[1,2],[3,4]])#python用numpy中的array创建矩阵print(A)
>>> print(A)
[[1 2][3 4]]
>>> B = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
>>> print(B)
[[1 2 3][4 5 6]]

在matlab中这个创建过程更加容易，用逗号或空格作为列的分隔，用分号作为行的分隔。

>> A = [1,2;3,4]A =1     23     4>> B = [1 2 3;4 5 6]B =1     2     34     5     6

矩阵的转置

矩阵的转置就是围绕主对角线方向做对称，或者说是将矩阵元素的行下标和列下标进行互换。
AT=[1324]BT=[142536]A^{T}= \begin{bmatrix}1 &3 \\ 2&4 \end{bmatrix} \ \ \ \ \ B^{T}= \begin{bmatrix}1 &4 \\ 2&5 \\ 3&6 \end{bmatrix} AT=[1234] BT=⎣⎡123456⎦⎤
Numpy中提供了transpose函数实现转置。

>>> At = np.transpose(A)
>>> print(At)
[[1 3][2 4]]
>>> Bt = np.transpose(B)
>>> print(Bt)
[[1 4][2 5][3 6]]

matlab中直接用一撇就可以实现转置（默认实现共轭转置）。

>> At = A'At =1     32     4>> Bt = B'Bt =1     42     53     6

矩阵的逆

跟矩阵的转置对所有矩阵都有效不同，矩阵的逆首先针对的对象是方阵。对于方阵而言，这几个概念是等价的：

可逆矩阵↔矩阵满秩↔通过有限次初等行变换能转化为单位矩阵↔非奇异矩阵↔行列式不为0

从定义看，逆矩阵是指与原矩阵做矩阵乘法后结果将为单位矩阵，即：
AA−1=A−1A=EAA^{-1}=A^{-1}A=E AA−1=A−1A=E

增广矩阵求解逆矩阵

手算矩阵的逆，我们一般有三种方法，即待定系数法、伴随矩阵法和初等变换法。由于可逆矩阵“通过有限次初等行变换能化为单位矩阵”的性质，所以我们往往利用增广矩阵求解一般性的矩阵的逆。

以A为例，容易计算A的行列式为-2，不为0，矩阵是可逆的，下面展现用增广矩阵求解A的逆矩阵的步骤。
A=[12∣1034∣01]A= \begin{bmatrix}1 &2 & | & 1 & 0 \\ 3&4 & | & 0 &1 \end{bmatrix} A=[1324∣∣1001]
容易看出，先将第二行减去第一行乘以3：
A⇒[12∣100−2∣−31]A\Rightarrow \begin{bmatrix}1 &2 & | & 1 & 0 \\ 0&-2 & | & -3 &1 \end{bmatrix} A⇒[102−2∣∣1−301]
然后，第二行加回第一行：
A⇒[10∣−210−2∣−31]A\Rightarrow \begin{bmatrix}1 &0 & | & -2 & 1 \\ 0&-2 & | & -3 &1 \end{bmatrix} A⇒[100−2∣∣−2−311]
最后，第二行乘以负二分之一：
A⇒[10∣−2101∣32−12]A\Rightarrow \begin{bmatrix}1 &0 & | & -2 & 1 \\ 0&1 & | & \frac{3}{2} &-\frac{1}{2} \end{bmatrix} A⇒[1001∣∣−2231−21]
于是有A的逆矩阵为
A−1=[−2132−12]A^{-1}= \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} &-\frac{1}{2} \end{bmatrix} A−1=[−2231−21]
容易看出AA−1=EAA^{-1} = EAA−1=E，所求逆矩阵确实是正确的。

inv()函数求解逆矩阵

Numpy中线性代数库linalg提供了inv()函数来实现非奇异矩阵的逆矩阵求解。

>>> Ai = np.linalg.inv(A)
>>> print(Ai)
[[-2.   1. ][ 1.5 -0.5]]

matlab中也提供了相似的函数inv()。

>> Ai = inv(A)Ai =-2.0000    1.00001.5000   -0.5000

伪逆

显然非奇异矩阵是少数，那么对于奇异矩阵和非方阵而言，就不存在其逆矩阵，但我们能引入伪逆矩阵作为逆矩阵的广义形式。数学定义如下：

如果存在一个与A的转置矩阵A’ 同型的矩阵X，并且满足：AXA=A,XAX=X.此时，称矩阵X为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。

容易验证逆矩阵是广义逆矩阵的特殊情形，即
AA−1A=EA=A,A−1AA−1=EA−1=A−1,其中X=A−1AA^{-1}A=EA=A , \ \ \ A^{-1}AA^{-1}=EA^{-1}=A^{-1} ,其中X = A^{-1} AA−1A=EA=A, A−1AA−1=EA−1=A−1,其中X=A−1

满足ALA=EA^{L}A = EALA=E,但不满足AAL=EAA^{L}=EAAL=E 的矩阵ALA^{L}AL称为矩阵A的左逆矩阵。类似的，满足AAR=EA A^{R}= EAAR=E,但不满足ARA=EA^{R}A=EARA=E 的矩阵ARA^{R}AR称为矩阵A的右逆矩阵。我们分三种情况讨论（看得出来总是取秩更小的矩阵）：

当m≥n时，列满秩，矩阵Am×nA_{m\times n}Am×n有左逆矩阵，An×mL=(ATA)−1ATA^{L}_{n\times m}=(A^{T} A)^{-1}A^{T}An×mL=(ATA)−1AT
当n≥m时，行满秩，矩阵Am×nA_{m\times n}Am×n有右逆矩阵，An×mR=AT(AAT)−1A^{R}_{n \times m}= A^{T}(AA^{T})^{-1}An×mR=AT(AAT)−1
当n =m时，Am×nA_{m \times n}Am×n的秩为r≤m=nr \le m = nr≤m=n,对A进行奇异值分解 A=UDVTA = UDV^{T}A=UDVT ，A的伪逆矩阵为A+=VD+UTA^{+}=VD^{+}U^{T}A+=VD+UT,其中D+D^{+}D+为奇异值矩阵的违逆矩阵，即主角线上的元素均取倒数。（应该指出，奇异值分解这种方法具有一般性，留到写奇异值分解时探讨）

我们以处理比较简单的B为例，已知B有：
B=[123456]BT=[142536]B= \begin{bmatrix}1 &2 & 3\\ 4&5 &6 \end{bmatrix} \ \ \ \ \ B^{T}= \begin{bmatrix}1 &4 \\ 2&5 \\ 3&6 \end{bmatrix} B=[142536] BT=⎣⎡123456⎦⎤
于是BBTBB^{T}BBT为
BBT=[123456]×[142536]=[14323277]BB^{T}= \begin{bmatrix}1 &2 & 3\\ 4&5 &6 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix}1 &4 \\ 2&5 \\ 3&6 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}14 &32 \\ 32 & 77 \end{bmatrix} BBT=[142536]×⎣⎡123456⎦⎤=[14323277]
计算这个式子的行列式，容易发现其值为-54,逆矩阵是存在的。下面用行变换求解逆矩阵，先将(2,1)元素归零：
BBT⇒[1432∣1003.857∣−2.2861]BB^{T} \Rightarrow \begin{bmatrix} 14 &32 & | & 1 & 0 \\ 0 & 3.857 & | & -2.286 & 1 \end{bmatrix} BBT⇒[140323.857∣∣1−2.28601]
再将(1,2)元素归零：
BBT⇒[140∣19.967−8.29703.857∣−2.2861]BB^{T} \Rightarrow \begin{bmatrix} 14 &0 & | & 19.967 &-8.297 \\ 0 & 3.857 & | & -2.286 & 1 \end{bmatrix} BBT⇒[14003.857∣∣19.967−2.286−8.2971]
最后将对角线元素归1：
BBT⇒[10∣1.426−0.59301∣−0.5930.259]BB^{T} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 &0 & | & 1.426 &-0.593 \\ 0 & 1 & | & -0.593 & 0.259 \end{bmatrix} BBT⇒[1001∣∣1.426−0.593−0.5930.259]

于是就有B的右逆矩阵为(有一定误差)：
BR=BT(BBT)−1=[142536]×[1.426−0.593−0.5930.259]=[−0.946−0.443−0.1130.109−0.720−0.225]B^{R}= B^{T}(BB^{T})^{-1}=\begin{bmatrix}1 &4 \\ 2&5 \\ 3&6 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1.426 &-0.593 \\ -0.593 & 0.259 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.946 &-0.443 \\ -0.113 & 0.109 \\ -0.720 &-0.225 \end{bmatrix} BR=BT(BBT)−1=⎣⎡123456⎦⎤×[1.426−0.593−0.5930.259]=⎣⎡−0.946−0.113−0.720−0.4430.109−0.225⎦⎤
可以验证BRB^{R}BR是满足BBR=EB B^{R}= EBBR=E,但不满足BRB=EB^{R}B=EBRB=E 的矩阵，这也正是“右”的含义所在。

pinv()函数求解伪逆矩阵

相比于繁杂的对违逆情况的讨论，实际编程中求违逆只是一行代码的事。注意尽管逆矩阵是违逆矩阵的特例，但inv()具有比pinv()更高的求解效率，这在我们分别求解A和B的广义逆矩阵时就能体会得到。

Numpy中线性代数库linalg提供了pinv()函数来实现违逆矩阵求解。

>>> Bpi = np.linalg.pinv(B)
>>> print(Bpi)
[[-0.94444444  0.44444444][-0.11111111  0.11111111][ 0.72222222 -0.22222222]]

Matlab中也提供了相似的函数pinv()。

>> Bpi = pinv(B)Bpi =-0.9444    0.4444-0.1111    0.11110.7222   -0.2222

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