基于Matlab解决线性规划问题
目录
引入:怎样理解线性和非线性
1、线性规划
2、非线性规划
1、有约束条件
2、无约束条件
3、二次规划问题
4、笔者总结
引入:
线性与非线性,常用于区别函数y = f (x)对自变量x的依赖关系。线性函数即一次函数,其图像为一条直线。其它函数则为非线性函数,其图像不是直线
在数学上,线性关系是指自变量x与因变量yo之间可以表示成y=ax+b ,(a,b为常数),即说x与y之间成线性关系。
不能表示成y=ax+b ,(a,b为常数),即非线性关系,非线性关系可以是二次,三次等函数关系,也可能是没有关系
1、线性规划(linprog)
线性规划特征:成员变量都是一次项,并且有约束条件,求最大或者最小值
线性规划得标准形式要求目标函数最小化,约束条件取等式,变量非负,不符合条件得要转化为标准形式(最多情况是加负号),
f是x1,x2,x3求最大最小值成员变量前面的系数,如果要求最大值先要转化为标准形式,最后输出前加负号,以列向量呈现。
a是约束条件成员变量前面的系数,标准形式是小于等于,如果大于等于要转换加负号,同一个式子的系数以行向量呈现(,),不同式子是列向量(;)
b是约束条件的值,以列向量呈现
aeq,beq分别是相等情况的系数和值,如果约束条件没有用"[ ]"代替,不能省略
最后输出[x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub) lb,ub分别是上下限一般由zeros(i,j)指的是i(变量数)行j列的零矩阵代替若有具体条件具体分析
f=[2;3;-5];
a=[-2 5 -1;1 3 1];
b=[-10;12];
aeq=[1 1 1];
beq=7;
[x,y]=linprog(-f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1));
fprintf('x1=%.4f,x2=%.4f,x3=%.4f\nz:%.4f\n',x,-y);
2、非线性规划
1、无约束条件
①fminunc函数
求无约束多变量函数的最小值
x = fminunc(fun,x0)
x = fminunc(fun,x0)从x0点开始,尝试找到fun中描述的函数的一个局部最小x。点x0可以是标量、向量或矩阵。
fmincon函数是默认从你给定的x0为中心开始搜索,直至找到函数的最小值,并返回距离x0最近的函数最小值对应的x值
这样我们在计算的时候就必须预先判定函数最小值的对应的x值的大概范围
确保我们定的初值x0在所求的x附近,以减少计算量
MATLAB实现步骤
1、定义函数,并且文件要与函数名一致
2、定义脚本,先写x0[i,j],然后再调用函数,最后看工作区的结果
对比:
fminbnd单变量函数在范围内求极小值
2、有约束条件(前提是非线性)
①fmincon函数
基本语法:[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
3、二次规划问题
特征:二次规划是非线性规划的一种,若某非线性规划的目标函数为自变量x的二次函数,约束条件又全是线性的,就称之为二次规划
标准形式——
首先,向量x是很容易写出的,因为f(x)包含两个变量x1和x2,因此
其次,向量f只与两个变量x1和x2的一次项有关,所以fTx=-2x1-6x2,因此
本例中,,这是由于x1的平方项(即x1x1)系数为1/2,所以第1行第1列的元素为1=2*(1/2),x2的平方项(即x2x2)系数为1,所以第2行第2列的元素为2=2*1,x1x2项(即x2x1)的系数为-1,所以第1行第2列和第2行第1列的元素均为-1。
总结:设矩阵H第i行第j列的元素大小为H(i,j),二次项xixj的系数为a(i,j);
注意就是x1x1,x2x2系数要乘以2
笔者总结 :
线性:
linprog 解决的是多元线性函数有约束条件下的的最大最小值问题
非线性:
除此之外共同点都是需要去定义目标函数且都是一次函数
fminunc 解决的是非线性多元无约束条件下的最大最小值问题
对比:fminbnd 解决得是非线性单元变量在给定得范围内得最大最小值
fmincon 解决的是非线性多元有约束条件下的最大最小值问题
二次规划:
quadprog 解决的是非线性且目标函数是二次,约束条件又是线性条件下的最大最小值问题
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