基础知识

速度矢量，角速度矢量，叉乘运算

速度是描述质点运动快慢和方向的物理量，等于位移对时间的微分。同时也等于加速度对时间的积分。
角速度：定义：一个以弧度为单位的圆（一个圆周为2π,即：360度=2π),在单位时间内所走的弧度即为角速度，ω=dφ/dt
角速度的方向垂直于转动平面，可通过右手螺旋定则来确定。
线速度=角速度叉乘半径(v=w×rv=w\times rv=w×r)（由圆心向外指）根据叉乘的右手法则来规定角速度的方向
叉乘：

刚体的线速度和角速度

线速度

把坐标系{B} 固连在一刚体上，要求描述相对于坐标系{A} 的运动BQ^{B}\textrm{Q}BQ这里已经认为坐标系{A} 是固定的。
坐标系{B} 相对于坐标系{A} 的位置用位置矢量APBORG^{A}\textrm{P}_{BORG}APBORG 和旋转矩阵BAR_{B}^{A}\textrm{R}BAR来描述。此时，假定方位BAR_{B}^{A}\textrm{R}BAR不随时间变化，则Q点相对坐标系{A} 的运动是由于APBORG^{A}\textrm{P}_{BORG}APBORG 或BQ^{B}\textrm{Q}BQ随时间的变化引起的。
求解坐标系{A} 中Q 点的线速度是非常简单的。只要写出坐标系{A} 中的两个速度分量，求其和为：AVQ=AVBORG+BARBVQ^{A}\textrm{V}_Q=^{A}\textrm{V}_{BORG}+_{B}^{A}\textrm{R} ^{B}\textrm{V}_QAVQ=AVBORG+BARBVQ (1)

(1)只适用千坐标系{B}和坐标系{A} 的相对方位保持不变的情况!

角速度

如图1两坐标系原点重合且相对线速度为零，固定在坐标系{B}上的矢量BQ^{B}\textrm{Q}BQ
以角速度 AΩB^{A}\Omega_BAΩB相对于坐标系{A}旋转。那么从{A}看固定在{B}中的矢量随时间变化，可以根据下图分析：
从坐标系{B}看矢量Q是不变的：BVQ=0^{B}\textrm{V}_Q=0BVQ=0
从坐标系{A}中看点Q的速度为旋转角速度AΩB^{A}\Omega_BAΩB
下图显示了矢量Q绕AΩB^{A}\Omega_BAΩB的旋转，是从坐标系{A}中观测到的

可以由图2-3得知：
1、AQ^{A}\textrm{Q}AQ的微分增量一定垂直于AΩB^{A}\Omega_BAΩB和AQ^{A}\textrm{Q}AQ
2、微分增量的大小为：∣ΔQ∣=(AQsinθ)(∣AΩB∣Δt)|\Delta Q|=(^{A}\textrm{Q}sin\theta)(|^{A}\Omega_B| \Delta t)∣ΔQ∣=(AQsinθ)(∣AΩB∣Δt)
又饿了大小和方向，就可以得到矢量积，根据角速度矢量公式有AVQ=AΩB×AQ^{A}\textrm{V}_{Q}=^{A}\Omega_B\times^{A}\textrm{Q}AVQ=AΩB×AQ
但是一般情况下Q是相对于坐标系{B}变化的，加上一个分量，可有：
AVQ=BARBVQ+AΩB×BARBQ^{A}\textrm{V}_Q=_{B}^{A}R^BV_Q+^{A}\Omega_B\times_B^AR^BQAVQ=BARBVQ+AΩB×BARBQ
紧接着将以上线速度与角速度扩展为坐标系原点不重合的情况，最终可以推导出从坐标系{A}观测坐标系{B}中固定速度矢量的最终普遍表达式：

AVQ=AVBORG+BARBVQ+AΩB×BARBQ^{A}\textrm{V}_Q=^AV_{BORG}+_{B}^{A}R^BV_Q+^{A}\Omega_B\times_B^AR^BQAVQ=AVBORG+BARBVQ+AΩB×BARBQ

连杆间的速度传递

连杆间速度的传递就如同位姿变换一般，可以通过连杆间的推导从基座的速度逐步推导到末端速度
角速度
当两个ω\omegaω矢量都是相对于同一个坐标系时，那么这些角速度能够相加。因此，连杆i+l 的角速度就等于连杆i的角速度加上一个由于关节i+ 1 的角速度引起的分量。参照坐标系{i}, 可写成：（实在懒得打公式，直接截图了）
其中

注意：只有当所有速度矢量都变换到相对于通一个坐标系表述时，两个速度矢量才可以相加！
可以带到得到连杆i+1角速度相对于坐标系{i+1}的表达式
线速度
坐标系{i+ 1} 原点的线速度等于坐标系{i} 原点的线速度加上一个由于连杆i的角速度引起的新的分量。因此有：

要得到连杆3的速度相对于固定坐标系表达式，用旋转矩阵30R^0_3R30R对其作旋转变换即可

雅克比

雅克比矩阵是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式，事实上，在函数都连续可微（即偏导数都连续）的前提之下，它就是函数组的微分形式下的系数矩阵（即雅可比矩阵）的行列式
在这里表示的是速度的映射，是一个时变线性映射Y˙=J(X)X˙\dot{Y}=J(X)\dot{X}Y˙=J(X)X˙
在机器人学中，通常使用雅可比将关节速度与操作臂末端的笛卡儿速度联系起来：
0v=0J(Θ)Θ˙^0v=^0J(\Theta)\dot{\Theta}0v=0J(Θ)Θ˙
其中Θ\ThetaΘ为操作部关节角矢量，vvv是笛卡尔速度矢量，对于6关节机器人，雅克比矩阵是6x6阶矩阵，Θ\ThetaΘ是6x1维额，0v^0v0v也是6x1维，由一个3x1维线速度矢量和一个3x1维角速度矢量组合起来的

根据
可以得到雅克比矩阵：

力域中的雅克比

在多维空间中，功是一个力或者力矩矢量与位移矢量的点积，利用虚功原理可知：

由上式可知，雅克比的转置将作用在手臂上的笛卡尔力映射成了等效关节力矩，当得到相对于坐标系{0}的雅克比矩阵后，可有对坐标系{0}中的力矢量进行变换：
当雅克比矩阵不满秩时，同位置域中的奇异性相同，存在某些特定的方向，末端执行器在这些方向上不能施加期望静态力，在奇异位置，末端笛卡尔施加的力在某些方向上增大或者减小，与所求的关节空间驱动力的值无关

matlab代码

J = robot.jacob0(q)  %jacob0()求解的是将关节速度映射到世界坐标系中的末端执行器空间速度
Jn = jaconb(q);%末端执行器在自身空间内的速度

机器人动力学（雅克比）相关推荐

机器人动力学简述 Robot Dynamics
机器人动力学有两个问题需要解决: 动力学正问题--根据关节驱动力矩或力,计算机器人的运动(关节位移.速度和加速度): 动力学逆问题--已知轨迹运动对应的关节位移.速度和加速度,求出所需要的关节力矩或力 ...
机器人动力学简化模型（Euler-Lagrange equation）
多关节机器人动力学模型的特点: 1.动力学方程非常复杂,所含项数较多.随着关节的增加,项数呈几何增长. 2.高度非线性. 3.高度耦合. 4.不确定性.负载.摩擦.干扰等随时间变化. n关节非线性串联 ...
机器人动力学知识参考资料
1.机器人学第6章机器人动力学_图文_百度文库 https://wenku.baidu.com/view/a73172ebbcd126fff6050b82.html?rec_flag=defaul ...
机器人动力学与控制_大负载协作机器人难关怎么攻克？3大技术细节解析！
对传统机器人来说,大负载的机器人控制难度会更大,这极大影响了机器人的效率和稳定性. 其主要原因如下: (1)传统的机器人编码器安装在减速机输入侧,但是减速机多少都有背隙,随着臂展的变长,背隙造成末端点 ...
matlab 求正交补,机器人动力学（一）空间向量（Spatial Vectors）简介
从本文开始介绍用于机器人动力学建模与分析的空间向量方法.本文是对一篇讲义的编译.这篇讲义通过对物体运动和描述方法的分析,引入了一种更为有效的描述刚体运动的方法,这种方法使用的基本工具就是六维的空间向量 ...
《机器人动力学与控制》第五章——速度运动学之机械臂的雅各比矩阵 5.0 导言
文章目录 <机器人动力学与控制>第五章--速度运动学之机械臂的雅各比矩阵 5.0 导言参考文献 <机器人动力学与控制>第五章--速度运动学之机械臂的雅各比矩阵 5.0 导言 ...
1. 机器人动力学—动力学的数学基础
1. 引言这篇文章主要介绍机器人动力学相关的几个基本的数学概念,主要是为后续正式介绍机器人动力学奠定基础,具体内容请参考:古月居
【机器人算法】机器人动力学、运动学和基于动力学模型的仿真与控制
文章目录运动学机器人运动学参数标定(DH参数标定) 运动学逆解解析解数值解工作空间分析可操纵性轨迹规划路径规划静力学动力学动力学模型动力学仿真自由下落遇到跳床重力补偿动 ...
Sympybotics机器人动力学符号推导工具箱
Sympybotics Sympybotic是一款使用python语言利用Sympy和Numpy包的开源机器人运动学和动力学的符号推导工具包,在机器人动力学参数辨识中可以用来建立机器人动力学模型,根据 ...
机器人动力学与控制学习笔记（九）————基于模糊自适应增益调整的机器人滑模控制
九.基于模糊自适应增益调整的机器人滑模控制采用自适应模糊系统,可实现机器人滑模控制中切换增益的自适应逼近,从而消除滑模控制中的抖振.本文设计一类基于模糊自适应增益调整的机器人滑模控制设计方法. 9. ...

机器人动力学（雅克比）