样条曲线（参数曲线）曲率

曲率计算公式

设参数曲线C(u):
C(u)=(x(u),y(y),z(u))C(u) = (x(u),y(y),z(u)) C(u)=(x(u),y(y),z(u))

曲线曲率表达为：
k(u)=∣C′(u)×C′′(u)∣∣C′(u)∣3(1)k(u)=\frac{|C^{'}(u)\times C^{''}(u)|}{|C^{'}(u)|^3}\quad (1) k(u)=∣C′(u)∣3∣C′(u)×C′′(u)∣(1)

其中：
C′(u)为一阶导数C′′(u)为二阶导数C′(u)×C′′(u)为一阶导数和二阶导数的叉乘\begin{aligned} &C^{'}(u) 为一阶导数 \\ &C^{''}(u) 为二阶导数 \\ &C^{'}(u)\times C^{''}(u) 为一阶导数和二阶导数的叉乘 \\ \end{aligned} C′(u)为一阶导数C′′(u)为二阶导数C′(u)×C′′(u)为一阶导数和二阶导数的叉乘

叉乘公式

设置两个向量：
一阶导数：a=(x1,y1,z1)二阶导数：b=(x2,y2,z2)a×b=∣ijkx1y1z1x2y2z2∣=(x3,y3,z3)=(2)=(y1z2−y2z1)i−(x1z2−x2z1)j+(x1y2−x2y1)k![\begin{aligned} 一阶导数：&\mathbf{a}=(x_1,y_1,z_1)\\ 二阶导数：&\mathbf{b}=(x_2,y_2,z_2)\\ &\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left| \begin{matrix} i & j & k\\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\\ \end{matrix} \right|=(x_3,y_3,z_3)=\quad \quad \quad (2)\\ &\quad \quad \quad= (y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k![ \end{aligned} 一阶导数：二阶导数：a=(x1,y1,z1)b=(x2,y2,z2)a×b=∣∣∣∣∣∣ix1x2jy1y2kz1z2∣∣∣∣∣∣=(x3,y3,z3)=(2)=(y1z2−y2z1)i−(x1z2−x2z1)j+(x1y2−x2y1)k![

3-D曲线曲率计算

计算三次样条曲线曲率：
C′(u)=(x1,y1,z1)C′′(u)=(x2,y2,z2)∣C′(u)∣=x12+y12+z12由公式(2)得：∣C′(u)×C′′(u)∣=x32+y32+z32\begin{aligned} &C^{'}(u)=(x_1,y_1,z_1)\\ &C^{''}(u)=(x_2,y_2,z_2)\\ &|C^{'}(u)|=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}\\ \\ &由公式(2)得：\\ &|C^{'}(u)\times C^{''}(u)|=\sqrt{x^2_3+y^2_3+z^2_3}\\ \end{aligned} C′(u)=(x1,y1,z1)C′′(u)=(x2,y2,z2)∣C′(u)∣=x12+y12+z12由公式(2)得：∣C′(u)×C′′(u)∣=x32+y32+z32

2-D曲线曲率计算

2-D曲线的曲率计算时，依然可以使用前文使用的公式，此时，设置z坐标值为0即可：
a=(x1,y1,0)b=(x2,y2,0)a×b=∣ijkx1y10x2y20∣=(x3,y3,z3)=(3)=0i−0j+(x1y2−x2y1)k则：∣C′(u)×C′′(u)∣=(x1y2−x2y1)2(4)\begin{aligned} &\mathbf{a}=(x_1,y_1,0)\\ &\mathbf{b}=(x_2,y_2,0)\\ &\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left| \begin{matrix} i & j & k\\ x_1 & y_1 & 0\\ x_2 & y_2 & 0\\ \end{matrix} \right|=(x_3,y_3,z_3)=\quad \quad \quad (3)\\ \\ &\quad \quad \quad= 0i-0j+(x_1y_2-x_2y_1)k\\ 则：\\ &|C^{'}(u)\times C^{''}(u)|=\sqrt{(x_1y_2-x_2y_1)^2}\quad \quad (4)\\ \end{aligned} 则：a=(x1,y1,0)b=(x2,y2,0)a×b=∣∣∣∣∣∣ix1x2jy1y2k00∣∣∣∣∣∣=(x3,y3,z3)=(3)=0i−0j+(x1y2−x2y1)k∣C′(u)×C′′(u)∣=(x1y2−x2y1)2(4)
现在考虑参数方程：
C(u)={x(u),y(u)C(u)= \begin{cases} x(u),\\ y(u) \end{cases} C(u)={x(u),y(u)
由高等数学知识得到：
K=∣x′(u)y′′(u)−x′′(u)y′(u)∣∣x′2(u)+y′2(u)∣32变量带入分子即为：(x1y2−x2y1)2,与公式(3)(4)得到的结果一致.K=\frac{|x^{'}(u)y^{''}(u)-x^{''}(u)y^{'}(u)|}{|x^{'2}(u)+y^{'2}(u)|^{\frac{3}{2}}}\\ \\ \\ \\ 变量带入分子即为：\sqrt{(x_1y_2-x_2y_1)^2},与公式(3)(4)得到的结果一致.\\ K=∣x′2(u)+y′2(u)∣23∣x′(u)y′′(u)−x′′(u)y′(u)∣变量带入分子即为：(x1y2−x2y1)2,与公式(3)(4)得到的结果一致.

数学就是这么奇妙啊!!!

方法验证–3次B-Spline曲线

n = 12 #n+1个控制点
p = 3  #3次yB-Spline曲线
m = n+p+1 #m+1个参数节点
knots = [0,0,0,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,1,1,1]
x = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13]  #控制点坐标
y = [1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1]

结果如下：