主成分分析法（Principal Component Analysis,PCA）

什么是主成分分析法，他是用来干什么的

用于提取一系列样本的主要特征，从而在分类、相似度比较、匹配等操作中提高运算效率和算法准确度

举个例子：学校需要进行三好学生评比，但每个学生都有很多特征，比如：学习成绩、社会实践活动、道德品质、体育成绩等等。在评比中，有一些特征属于“无用特征”，比如身高、体重、衣服尺寸等等，这些特征在评比中是不应该被采纳的；而有一些特征属于“冗余特征”，比如各学科成绩和学科总成绩，实际上这二者有一个即可。

主成分分析法是一种特征提取方法，也可以称为特征降维方法，将很多个具有内在联系（线性相关）的特征转化为少数几个线性无关的特征，用这些少数几个特征来进行样本的区分比较，这些线性无关的变量称为主成分。

在给出算法实现之前，阐述一下PCA的数学思想：

根据p个特征的线性组合，得到一个新的特征z，使得该特征的方差最大，该特征即为主成分。

再次寻找p个特征的线性组合，得到新的特征，该特征与之前得到的主成分线性无关，且方差最大。

算法实现

假设有n个样本，p个特征， $x_{i,j}$ 表示第i个样本的第j个特征，样本的特征矩阵为

$X=\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1p} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{np} \\ \end{bmatrix} = [x_1,x_2,\cdots,x_p]$

我们的目的是，找到一个转换矩阵，将p个特征转化为m个特征（m<p），从而实现特征降维

$\begin{cases} \begin{aligned} z_1&=l_{11}x_1+l_{12}x_2+\dots+l_{1p}x_p \\ z_2&=l_{21}x_1+l_{22}x_2+\dots+l_{2p}x_p \\ \vdots \\ z_1&=l_{m1}x_1+l_{m2}x_2+\dots+l_{mp}x_p \end{aligned} \end{cases}$

①标准化

计算每个特征（p个特征）的均值和标准差

$\overline{x_j}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_{ij}$

$S_j=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(x_{ij}-\overline{x_j})^2}{n-1}}$

将每个样本的每个特征进行标准化处理，得到标准化特征矩阵

$X_{ij}=\frac{x_{ij}-\overline{x_j}}{S_j}$

$X_{stand}=\begin{bmatrix} X_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1p} \\ X_{21} & X_{22} & \cdots & X_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ X_{n1} & X_{n2} & \cdots & X_{np} \\ \end{bmatrix} = [X_1,X_2,\cdots,X_p]$

②计算标准化样本的协方差矩阵

$\begin{aligned} r_{ij}&=\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^n(X_{ki}-\overline{X_i})(X_{kj}-\overline{X_j})\\ &=\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^nX_{ki}X_{kj} \end{aligned}$

协方差矩阵R如下

$R=\begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1p} \\ r_{21} & r_{22} & \cdots & r_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{p1} & r_{p2} & \cdots & r_{pp} \\ \end{bmatrix}$

③计算矩阵R的特征值和特征向量

计算矩阵R的特征值，并按照大小顺序排列，计算对应的特征向量，并进行标准化，使其长度为1

特征值： $\lambda_1\ge\lambda_2\ge \dots \ge \lambda_p\ge0$

特征向量： $L_1=[l_{11},l_{12},\dots ,l_{1p}]^T \dots L_p=[l_{p1},l_{p2},\dots ,l_{pp}]^T$

④给出主成分

第i个主成分为

$F_i=l_{i1}X_1+l_{i2}X_2+\dots+l_{ip}X_p,(i=1,2,\dots,p)$

⑤计算每个主成分的贡献率及累积贡献率

第i个主成分的贡献率为

$\frac{\lambda_i}{\sum_{k=1}^p\lambda_k}$

前i个主成分的累积贡献率为

$\frac{\sum_{j=1}^i\lambda_j}{\sum_{k=1}^p\lambda_k}$

通常，我们选取几个主成分，使得累积贡献率为80%。

但如果每个主成分的贡献率都相差不多，则不建议使用主成分分析法，因为主成分分析法一定程度上舍弃了部分信息，来提高整体的计算效率。同时，对于降维形成的主成分，我们经常无法找到他在实际情况中所对应的特征，这也是主成分分析法的缺陷所在。