数学概率之抛硬币，斗地主

一硬币，一面向上概率0.7，一面0.3，如何公平？

抛两次，正反A胜，反正B胜。

概率：两个人轮流抛硬币，先抛到正面的赢，问先抛的人赢的概率

2/3
每一轮抛硬币，A先抛赢得概率是1/2，B后抛赢得概率是（1/2）*（1/2）= 1/4。那么每一轮A赢得概率都是B赢得概率的2倍，总概率为1,所以A赢的概率是2/3。

两根香，一根烧完1小时，如何测量15分钟

开始时一根香两头点着，一根香只点一头，两头点着的香烧完说明过去了半小时，
这时将只点了一头的香另一头也点着，从这时开始到烧完就是15分钟。

智力题，海盗分金币。

从后往前想，如果只剩两个人了会怎么样，如果只剩三个？
这个过程比较复杂，这里给出两篇讲解比较详细的博客。
半数或超过半数
1号 2号 3号 4号 5号
98 0 1 0 1
超过半数
(97, 0, 1, 2, 0)或(97, 0, 1, 0, 2)

斗地主有人拿到两张王的概率

解法一：
一共54张牌，其中地主20张，两个农民各17张。
将牌重新组合，将54张牌一次排成一列，分成三堆，前20张给地主，中间17张给第一个农民，最后17张给第二个农民。
问题关键：仅考虑大小王的位置，而不考虑其他所有牌。
所有情况： A 54 2 = 54 ∗ 53 A_{54}^2=54*53 A542=54∗53
王炸在地主手里： A 20 2 = 20 ∗ 19 A_{20}^2=20*19 A202=20∗19
王炸在农民手里： 2 A 17 2 = 2 ∗ 17 ∗ 16 2A_{17}^2=2*17*16 2A172=2∗17∗16
所求概率为：

解法二：
一副牌54张，斗地主时并不是每个人拿18张，而是两个人拿17张一个人拿20张，每种分配方式的概率是相同的，一共有 C 54 20 C 34 17 C 17 17 C_{54}^{20}C_{34}^{17}C_{17}^{17} C5420C3417C1717 种。如果王炸在地主（拿20张牌者）手上，共有种 C 2 2 C 52 18 C 34 17 C 17 17 C_{2}^{2}C_{52}^{18}C_{34}^{17}C_{17}^{17} C22C5218C3417C1717 情况，即先把王炸给地主，再给地主补足牌，最后分配农民的牌；如果王炸在农民（拿17张牌者）手上，共有 2 C 2 2 C 52 15 C 37 20 C 17 17 2C_{2}^{2}C_{52}^{15}C_{37}^{20}C_{17}^{17} 2C22C5215C3720C1717 种情况，即先把王炸给农民，再给他补足手牌，然后给地主分牌，最后给第二个农民分牌。由于两个农民是对称的，因此乘2.按照这个模型，所求概率即为两种符合条件概率相加除以总方法数，结果约为154/477，约等于32.28%。

思考题：64匹马，8个跑道，选跑最快的4匹马需要比赛多少次。

(锦标赛排序算法) sum = 11
第一步：首先每8匹马跑一次，总共需要8次，假设结果中A1>A2>A3>…,B1>B2>B3>…等。 sum=8；
第二步：这8组中的第一名拉出来跑一次，那么这次最快的是总的第一名，假设是A1，同时假设B1>C1>D1。这时还要角逐2,3,4名，那这一轮中的第五到第八组都可以直接舍弃，因为他们所有的马一定进不了前4名。sum=9。
第三步：从A组中选A2，A3，A4，B组中B1，B2，B3，C组中C1，C2，D组中D1，这些才有资格角逐2,3,4名。这时需要再比赛两次。 sum=11。（但是如果第10轮选择A4不上场，如果A3获得了第4名，那么A4就不需要比赛了，这样sum=10）。

扔硬币直到连续两次出现正面，求扔的期望次数

假设期望次数是E，我们开始扔，有如下几种情况：
• 扔到的是反面，那么就要重新仍，所以是0.5*(1 + E)
• 扔到的是正面，再扔一次又反面了，则是0.25*(2 + E)
• 扔到两次，都是正面，结束，则是0.252
所以递归来看E = 0.5(1 + E) + 0.25*(2 + E) + 0.25*2，解得E = 6

25匹马，5个跑道，最少比多少次能比出前3名？前5名？

(1)求前3名要7次；
将马分成A、B、C、D、E五组。
第1-5次比赛：各组分别进行比赛，决出各组名次,取每组前三名
A1、A2、A3，
B1、B2、B3，
C1、C2、C3，
D1、D2、D3，
E1、E2、E3。
第6次比赛：A1、B1、C1、D1、E1，
假设得到的结果是A1、B1、C1、D1、E1，A1是跑的最快的，那么分析A组A2、A3还有希望冲进前3，B组呢？只有B2还有希望冲进前3，C组的C1，C2并没有希望冲进前3了，因为C1是比赛的名次是第3名了，D组E组都没有希望了。现在已经知道A1肯定是第一名，剩下A2、A3、B1、B2、C1是有希望冲进前三的。
第7次比赛：A2、A3、B1、B2、C1比赛求出第2，第3即可。

(2)求前5名：
将马分成A、B、C、D、E五组。
第1-5次比赛：各组分别进行比赛，决出各组名次
A1、A2、A3、A4、A5，
B1、B2、B3、B4、B5，
。。。。
。。。。。。E4、E5。
第6次比赛：A1、B1、C1、D1、E1，

第一名是跑的最快的。

第7次比赛：将上次第一名所在组的下一号马再和剩余的4匹1号马比赛，
第一名是跑的第二快的马，由于只有4个名额，所以跑的最慢的马和所在组剩余的马全部被淘汰。

第8次比赛：将上次第一名所在组的下一号马、上次第二名所在组的下一号马和剩余的3匹马比赛，
第一名是跑的第三快的马，由于只有3个名额，所以跑的最慢的两匹马和所在组剩余的马全部被淘汰。
在剩下的比赛中分别淘汰慢的，将排名稍后的加进来比赛，最多跑到第10次就可以选出最快的5匹马。如果在某一次比赛中排名前几的是同一组的且和已经选出的马加一起大于等于5，就可以提前决出前5名。
所以8-10次就可以选出最快的5匹马。