O(logN)时间复杂度内求整数的N次方以及矩阵的N次方

整数N次方

假设一个整数是10，如何最快地求解10的75次方。
1. 75的二进制数形式为1001011
2. 10的75次方=10^64 × 10^8 × 10^2 × 10^1

在这个过程中，我们先求出10^1，然后根据10^2，再根据10^2求出10^4，……，最后根据10^32求出10^64，即75的二进制数形式总共为多少位，我们就要在原基础上平方几次。

在步骤2进行的过程中，只有遇到位为1时，才将结果累乘当前的平方数。比如，10^64、10^8、10^2、10^1应该累乘。

  /*** 巧算*/static int ex2(int n, int m) {int pingFangShu = n; //n 的 1 次方int result = 1;while (m != 0) {//遇1累乘现在的幂if ((m & 1) != 0)result *= pingFangShu;//每移位一次，幂累乘方一次pingFangShu = pingFangShu * pingFangShu;//右移一位m >>= 1;}return result;}

矩阵乘法

  /***   矩阵乘法*   矩阵1为n*m矩阵，矩阵2为m*p矩阵*   结果为n*p矩阵*/public static long[][] matrixMultiply(long[][] m1, long[][] m2) {final int n = m1.length;final int m = m1[0].length;final int p = m2[0].length;long[][] result = new long[n][p];// 新矩阵的行数为m1的行数，列数为m2的列数for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < p; j++) {for (int k = 0; k < m; k++) {result[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j];}}}return result;}

矩阵的N次方

求矩阵的N次方，思路和求整数的N次方接近，区别是矩阵乘法和整数乘法在细节上不一样，但对于怎么乘更快，原理上是一致的。

  /*** 求矩阵matrix的p次方* @param matrix* @param p* @return*/public static long[][] matrixPower(long[][] matrix, int p) {//初始化结果为单位矩阵，对角线为1long[][] result = new long[matrix.length][matrix[0].length];//单位矩阵，相当于整数的1for (int i = 0; i < result.length; i++) {result[i][i] = 1;}//平方数long[][] pingFang = matrix; // 一次方for (; p != 0; p >>= 1) {if ((p & 1) != 0) { // 当前二进制位最低位为1，将当前平方数乘到结果中result = matrixMultiply(result, pingFang);}//平方数继续上翻pingFang = matrixMultiply(pingFang, pingFang);}return result;}

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