钢条切割问题 DP

钢条切割问题

给定一段长度为n的钢条和一个价格表pi(i=1,2,…,n)，求切割钢条方案，是的销售收益r_n最大。

方法一：

长度为n的钢条共有2^n-1种不同的切割方案，因为在距离钢条左端i(i=1, 2, …, n-1)处，我们总是可以选择切割或者不切割。
一般的，钢条切割收益可以如下表示：
r_n = max(p_n, r₁ + r_n-1, r₂ + r_n-2, …, r_n-1 + r₁)
第一个参数p_n对应不切割，直接售出长度为n的钢条。其余n-1个参数对应另外n-1种方案：对每个i = 1,2，…，n-1，首先将钢条切割成长度为i和n-i的两端，接着求解这两段的最优切割收益r_i和r_n-i（每周弄方案的最有收益为这两段的最有收益之和）。由于无法预知哪种方案会获得最优收益，我们必须考察所有可能的i，选取其中收益最大者。
为了求解规模为n的原问题，我们先求解形式完全一样，但规模更小的子问题。即当完成首次切割之后，我们将两端钢条看成两个独立的钢条切割问题。通过组合两个相同=关子问题的最优解，并在所有可能的两端切割方案中选取组合收益最大者，构成原问题的最优解

方法二：

固定一端，只对另一端进行递归
将钢条从左边切割下长度为i的一段，只对右边剩下的长度为n-i的一段继续进行切割（递归求解），对左边的一段则不再进行切割。即问题分解的方式为：将长度为n 的钢条分解为左边开始一段以及剩余部分继续分解的结果，所以可能简化为
r_n = max(p_i + r_n-1) (1 <= i <= n)
自顶向下递归实现

int CutRod(int *p, int n) {if (n == 0)return 0;int q = -INF;for (int i = 1; i <= n; i++) {q = max(q, p[i] + CutRod(p, n - i));}return q;
}

但此方法会反复调用相同参数值对自身进行递归调用，即它反复求解相同的子问题
时间复杂度为：T(n) = O(2ⁿ)

方法三：带备忘的自顶向下法

仍按照递归的形式编写过程，但过程会保存每个子问题的解，当需要一个子问题的解时，首先检查是否已经保存过此解，如果是，则直接返回保存的值，否则，按照通常的方式计算这个子问题

int MemoizedCutRod(int *p, int n) {int r[maxn];for (int i = 0; i <= n; i++)r[i] = -INF;return MemoizedCutRodAux(p, n, r);
}int MemoizedCutRodAux(int *p, int n, int *r) {if (r[n] >= 0)       //如果已经计算过，则直接返回return r[n];int q;if (n == 0)return 0;else {//若没有计算过，则按照通常的方式进行计算q = -INF;for (int i = 1; i <= n; i++)q = max(q, p[i] + MemoizedCutRodAux(p, n - i, r));}r[n] = q;            //将计算结果保存在数组中return q;
}

方法四：自底向上法

恰当的定义子问题的规模，使得任何子问题的求解斗志依赖于更小的子问题的求解。因而我们可以将子问题按规模排序，按由小到大的顺序进行求解。
当求解某个子问题时，它所依赖的那些更小的子问题都已经求解完毕，结果已经保存。每个子问题只求解一次，当我们求解它(也是第一次遇到它)时，它的所有前提子问题都已经求解完毕

int BottomUpCutRod(int *p, int n) {int r[maxn];r[0] = 0;int q;for (int j = 1; j <= n; j++) {q = -INF;for (int i = 1; i < j; i++)q = max(q, p[i] + r[j - i]);r[j] = q;}return r[n];
}

5-8行按照升序一次求解每个规模为j的子问题。求解规模为j的子问题方法与CutRod所采用的方法相同，只是直接访问数组r[j-i]来获得规模为j-i的子问题的解，而不必进行递归调用
将规模为j的子问题的解存入r[j]
最后返回r[n]，即最优解r_n

自底向上与自顶向下算法时间复杂度均为O(n²)