【opencv-python】大津法（Otsu）阈值分割原理深入分析

大津法（Otsu）是图像处理领域里面较为重要的阈值分割方法，适用于处理双峰图像。但大多数开发人员并不熟悉其原理，因此有必要对其进行详细说明与分析。

opnecv的实例代码链接为：
opencv-python大津法（Otsu）官方说明文档
python代码为：

img = cv2.imread('road.jpg',0)
blur = cv2.GaussianBlur(img,(5,5),0)
# find normalized_histogram, and its cumulative distribution function
hist = cv2.calcHist([blur],[0],None,[256],[0,256])
hist_norm = hist.ravel()/hist.max()
Q = hist_norm.cumsum()
bins = np.arange(256)
print(bins)
fn_min = np.inf
thresh = -1
for i in range(1,256):p1,p2 = np.hsplit(hist_norm,[i]) # probabilitiesq1,q2 = Q[i],Q[255]-Q[i] # cum sum of classesb1,b2 = np.hsplit(bins,[i]) # weights# finding means and variancesm1,m2 = np.sum(p1*b1)/q1, np.sum(p2*b2)/q2v1,v2 = np.sum(((b1-m1)**2)*p1)/q1,np.sum(((b2-m2)**2)*p2)/q2# calculates the minimization functionfn = v1*q1 + v2*q2if fn < fn_min:fn_min = fnthresh = i
# find otsu's threshold value with OpenCV function
ret, otsu = cv2.threshold(blur,0,255,cv2.THRESH_BINARY+cv2.THRESH_OTSU)
print (thresh,ret)

下面对关键代码进行分析：

blur = cv2.GaussianBlur(img,(5,5),0)

用高斯滤波器对图像进行模糊操作，高斯核大小为5✖️5，参考说明，得到模糊后的图像变量blur。

hist = cv2.calcHist([blur],[0],None,[256],[0,256])

这句代码得到了blur图像的灰度直方图，函数calcHist定义可参考说明，得到了代表blur图像灰度分布的对象hist，hist为256行1列的数组，数据类型为numpy.ndarray，每个元素为该位置对应灰度值所对应的像素数，部分灰度值对应的像素数如下图所示：

hist_norm = hist.ravel()/hist.max()
Q = hist_norm.cumsum()

hist_norm代表由每个灰度对应像素数量与某个最大像素数比值构成的数组，shape为[256,1]（由于hist.ravel()），新数组Q中的每个元素表示hist_norm中每个元素与前所有元素的累加和。假设图像被阈值TTT所分割，在灰度值小于TTT的区间内（灰度直方图左侧），将灰度值为iii的像素个数定义为P(i)P(i)P(i)，在一张图像里的256个灰度值中，像素个数最大的灰度值定义为PmP_mPm；同理在灰度直方图右侧，分别定义为Q(i),QmQ(i),Q_mQ(i),Qm。令：p(i)=P(i)/Pmp(i)=P(i)/P_mp(i)=P(i)/Pmq(i)=Q(i)/Qmq(i)=Q(i)/Q_mq(i)=Q(i)/Qm
定义：s1=∑i=0Tp(i)s_1=\sum_{i=0}^{T}p(i)s1=i=0∑Tp(i)s2=∑i=T255q(i)s_2=\sum_{i=T}^{255}q(i)s2=i=T∑255q(i)定义平均值：m1=∑i=0i(i∗p(i))/s1m_1=\sum_{i=0}^i(i*p(i))/s_1m1=i=0∑i(i∗p(i))/s1m2=∑i=T255(i∗q(i))/s2m_2=\sum_{i=T}^{255}(i*q(i))/s_2m2=i=T∑255(i∗q(i))/s2定义方差：v1=∑i=0T(i−m1)2∗p(i)/s1v_1=\sum_{i=0}^T(i-m_1)^2*p(i)/s_1v1=i=0∑T(i−m1)2∗p(i)/s1v2=∑i=T255(i−m2)2q(i)/s2v_2=\sum_{i=T}^{255}(i-m_2)^2q(i)/s_2v2=i=T∑255(i−m2)2q(i)/s2定义目标函数fn=v1+v2f_n=v_1+v_2fn=v1+v2，大津法认为：最合适的阈值TTT，就是令目标函数fnf_nfn取最小值的那一个，实现代码段为：

for i in range(1,256):p1,p2 = np.hsplit(hist_norm,[i]) # probabilitiesprint('i', i, 'p1,p2', p1, '---', p2)q1,q2 = Q[i],Q[255]-Q[i] # cum sum of classesb1,b2 = np.hsplit(bins,[i]) # weights# finding means and variancesm1,m2 = np.sum(p1*b1)/q1, np.sum(p2*b2)/q2#v1,v2 = np.sum(((b1-m1)**2)*p1)/q1, np.sum(((b2-m2)**2)*p2)/q2v1,v2 = np.sum(((b1-m1)**2)*p1), np.sum(((b2-m2)**2)*p2)fn = v1 + v2# calculates the minimization function#fn = v1*q1 + v2*q2if fn < fn_min:fn_min = fnthresh = i

至此，Otsu阈值分割法推导完毕。问题：为什么令fnf_nfn最小的阈值TTT就是最合适的TTT?欢迎大家入群深入交流。

下面我们对其原理进行验证，我们找一张双峰图像，如下图所示：

我们将这张图片的灰度直方图打开，呈现出来如下图所示：
可以看出，灰度直方图呈现出近似双峰图像的特点，灰度值较低处体现的是图像中下方“马路”附近的大片像素，灰度值较高处体现的是图像中上方“蓝天”中的大片像素。我们用大津法对其进行分割，效果如下图所示：
代码：

import cv2
import numpy as np
from numpy.core.fromnumeric import shape
from PIL import Image
#plotly
import plotly as py
import plotly.graph_objs as goimg = cv2.imread('road.jpg',0)
img1 = np.ravel(img)
print('type', type(img1), img1.shape, img1)
pyplt = py.offline.plot
data = [go.Histogram(x=img1, histnorm = 'probability')]
ret, th2 = cv2.threshold(img,0,255,cv2.THRESH_BINARY_INV + cv2.THRESH_OTSU)
print('ret', ret, cv2.THRESH_BINARY_INV, cv2.THRESH_OTSU
pyplt(data)
self.show_img(img, 'road')
self.show_img(th2, 'th2')

将cv2函数计算得到的阈值和我自己计算的阈值打印出来，均为157，说明大津法计算正确。

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