《白话统计》学习笔记之方差分析与变异分解

1. 方差分析中变异分解的思想

假如现有3组共60人的血压值各不相同，即我们所说的变异。当这些人服用降压药后，有的人血压降低了，有的却没有？要回答这一问题，需要考虑两个原因。第一个是由于个体间差异引起的组内变异（也可以理解为抽样误差），第二个是由于药物间差异引起的组间差异。如果这两种差异不大，则说明药效对血压的影响不大。

组间差异/组内差异即为F值，可见F值越大，组间差异与组内差异越大，可以理解这种方差主要是由药物引起的，而不是抽样误差。

2.方差分析中的实验设计

2.1 单因素方差分析

单因素方差分析只有一个因素，根据这个因素将其分为多个组。如果想比较两种药物治疗高血压的疗效，药物（因素）共两种（两个水平），因此可以将人群随机分为两组，分别服用不同的药物，然后进行比较。

2.2 析因设计的方差分析

析因设计是多因素设计，可在设计中加入多个因素，不仅可以考查各因素的单独效应，还可以考查因素之间的交互效应。

是否采用析因设计往往和研究目的相关，想了解A、B两种药物治疗高血压的疗效，如果目的是比较这两种药物的疗效差异，那么此时“药物”就是一个因素，而药物的A、B类是因素的两个水平。如果你的目的是研究这两种药物的联合服用会不会效果更好，那就采用析因设计。

2.3 交叉设计的方差分析

交叉设计采用自身配对的思想，以2*2交叉设计为例，其基本设计过程为：首先将研究对象随机分成两组，第一组先接受A处理，经过一段洗脱期消除A处理的影响后，再接受B处理；第二组先接受B处理，经过一段洗脱期消除B处理的影响后，再接受A处理。两种处理在实验过程中交叉进行，所以成为交叉设计。

交叉设计同时包含了自身对照组和组间对照组的设计思路，能用较小的样本获得较高的研究效率，尤其适用于医学研究中某些难以获得病例的情况。而且该设计中的每一受试对象均按随机原则和一定的实验顺序和对照处理，遵循了伦理原则，并保证了公平性。

3. 方差分析后为什么要进行两两比较

方差分析用于多组比较时，其无效假设为：H0：u1 = u2 = ... = uk ，即k(k>2)组中任意两组都是相等的。换句话说，方差为0。

与此对应的择备假设为：k组中至少有两组不相等。那么是哪两组不相等呢？

所谓两两比较，就是对多组中的任意两组分别进行比较，具体有很多比较形式，常见的有：

（1）多组中任意的其中两组进行比较，对于A、B、C三组，A与B、A与C、B与C分别比较，共3次，常见的方法有Tukey HSD法、SNK法、LSD法等；

（2）多组中所有可能的比较，对于A、B、C、D四组，A与B、C、D的均值进行比较，A、B的均值与C、D的均值比较，常见的方法有Bonferroni法、Scheffe法等。

（3）对照组与其他所有试验组进行比较。如设立A（对照组）、B（试验组1）、C(试验组2)三组，分别对B和A、C和A进行比较，主要的比较方法为Dunnett t检验。

（4）根据研究目的，只选择其中部分组别进行比较。

4. 所有的多组都需要做两两比较吗？——兼谈固定效应和随即效应

在方差分析中，一般先做组间比较，如果有统计学差异，则进行两两比较，看具体哪两组之间有统计学差异。实际上并不是所有的组间比较都必须进行两两比较。

假定想比较三种药物的疗效（药物是一个因素，三种药物是三个水平），如果仅仅是比较这三种药物（而不是其他药物）的疗效差异，那么这就是固定效应。如果是想了解这三种药物所代表的三类药物的疗效差异，那么就是随机效应。

因此，对固定效应模型进行两两比较才具有实际意义。

5. 方差分析的替代——Kruskal-Wallis秩和检验

Kruskal-Wallis秩和检验的思路和Wilcoxon秩和检验差不多，只是该检验用于多组比较。