应用统计学第十周作业（OSL最小二乘、Excel处理数据）

1.

（1）

超市的广告费支出和销售额的关系

R Square = 0.69,相关系数 = 0.83，x和y还算是有比较强的线性关系。
SSR = 691.72,SSE = 310.28，F检验的结果为11.147，对应的p-value = 0.02,F检验通过。

t检验的结果为3.34，对应的p-value= 0.02，t检验通过。

（2）

啤酒的广告费和销售量的关系

R Square = 0.78,相关系数 = 0.885，x和y有比较强的线性关系。
SSR = 735.49，SSE = 202.33,F检验的结果为29，对应p-value = 0.00065，F检验通过。

t检验的结果为5.39，t检验通过。

2.

证明：

(1)

已知b0=yˉ−b1xˉ,由yˉ是yi的线性组合，已证b1是yi的线性组合，xˉ是固定设计，所以b0显然是yi的线性组合。已知b_0 = \bar{y} - b_1\bar{x},\\ 由\bar{y}是y_i的线性组合，已证b_1是y_i的线性组合，\\\bar{x}是固定设计，所以b_0显然是y_i的线性组合。已知b0=yˉ−b1xˉ,由yˉ是yi的线性组合，已证b1是yi的线性组合，xˉ是固定设计，所以b0显然是yi的线性组合。

(2)

首先证明E(b1)=β1证明：已知b1=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2=∑(xi−xˉ)∑(xi−xˉ)2yi=∑kiyiE(b1)=E(∑ki(β0+β1xi))=β0E(∑ki)+β1E(∑kixi)=β0⋅0+β1⋅1=β1在此基础上E(b0)=E(yˉ)−xˉE(b1)=β0+β1xˉ−xˉβ1=β0首先证明E(b_1) = \beta_1\\ 证明：已知b_1 = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}\\= \sum\frac{(x_i-\bar{x})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}y_i = \sum k_iy_i\\ E(b_1) =E(\sum k_i(\beta_0+\beta_1x_i)) \\ = \beta_0E(\sum k_i)+\beta_1E(\sum k_ix_i)\\ = \beta_0·0+\beta_1·1 = \beta_1\\ 在此基础上E(b_0) = E(\bar{y})-\bar{x}E(b_1)\\ = \beta_0+\beta_1\bar{x}-\bar{x}\beta_1=\beta_0 首先证明E(b1)=β1证明：已知b1=∑(xi−xˉ)2∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)=∑∑(xi−xˉ)2(xi−xˉ)yi=∑kiyiE(b1)=E(∑ki(β0+β1xi))=β0E(∑ki)+β1E(∑kixi)=β0⋅0+β1⋅1=β1在此基础上E(b0)=E(yˉ)−xˉE(b1)=β0+β1xˉ−xˉβ1=β0

(3)

已证Var(b1)=σ2∑i=1n(xi−xˉ)2已知b0=yˉ−b1xˉ所以Var(b0)=Var(yˉ−b1xˉ)=Var(yˉ)+xˉ2Var(b1)=σ2n+xˉ2σ2∑i=1n(xi−xˉ)2=σ2(1n+xˉ2∑i=1n(xi−xˉ)2)已证Var(b_1) = \frac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}\\ 已知b_0 = \bar{y} - b_1\bar{x}\\ 所以Var(b_0) = Var(\bar{y} - b_1\bar{x})\\= Var(\bar{y})+\bar{x}^2Var(b_1)\\ = \frac{\sigma^2}{n}+\frac{\bar{x}^2\sigma^2}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}\\ = \sigma^2(\frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^2}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}) 已证Var(b1)=∑i=1n(xi−xˉ)2σ2已知b0=yˉ−b1xˉ所以Var(b0)=Var(yˉ−b1xˉ)=Var(yˉ)+xˉ2Var(b1)=nσ2+∑i=1n(xi−xˉ)2xˉ2σ2=σ2(n1+∑i=1n(xi−xˉ)2xˉ2)

3.

证明：
假设存在线性无偏统计量p1=∑ciyi,令d1=p1−b1=∑(ci−ki)yi,则p1=b1+d1只需证明Var(p1)≥Var(b1)即可。假设存在线性无偏统计量p_1 =\sum c_iy_i,\\ 令d_1 = p_1-b_1 = \sum(c_i-k_i)y_i,则p_1 = b_1+d_1\\ 只需证明Var(p_1)\geq Var(b_1)即可。假设存在线性无偏统计量p1=∑ciyi,令d1=p1−b1=∑(ci−ki)yi,则p1=b1+d1只需证明Var(p1)≥Var(b1)即可。

Var(p1)=Cov(p1,p1)=Cov(b1+d1,b1+d1)=Var(b1)+Var(d1)+2Cov(b1,d1)Var(d1)显然不小于0Cov(b1,d1)=Cov(∑(ci−ki)yi,∑kiyi)=0所以Var(p1)≥Var(b1)因此，任意线性无偏估计的方差都不小于最小二乘得到的方差，即OSL估计量b1有最小的方差。Var(p_1) = Cov(p_1,p_1) = Cov(b_1+d_1,b_1+d_1)\\ = Var(b_1)+Var(d_1)+2Cov(b_1,d_1)\\ Var(d_1)显然不小于0\\ Cov(b_1,d_1) = Cov(\sum(c_i-k_i)y_i,\sum k_iy_i)=0\\ 所以Var(p_1)\geq Var(b_1)\\ 因此，任意线性无偏估计的方差都不小于最小二乘得到的方差，即OSL估计量b_1有最小的方差。 Var(p1)=Cov(p1,p1)=Cov(b1+d1,b1+d1)=Var(b1)+Var(d1)+2Cov(b1,d1)Var(d1)显然不小于0Cov(b1,d1)=Cov(∑(ci−ki)yi,∑kiyi)=0所以Var(p1)≥Var(b1)因此，任意线性无偏估计的方差都不小于最小二乘得到的方差，即OSL估计量b1有最小的方差。

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