分治策略之循环赛

一、实验题目

•设有n个运动员要进行网球循环赛。设计一个满足下列条件的比赛日程表：

–每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；

–每个选手一天只能赛一次；

–当n是偶数时，循环赛进行n-1天。

–当n是奇数时，循环赛进行n天。

二、实验目的及其实验要求

1、使用分治策略，编写程序完成以上实验题目。

2、设置数据集，测试程序，写出测试报告。

3、验证算法的正确性。

4、写出题目的具体分析过程，算法程序进行必要的解析（伪代码+源代码）。

5、分析所完成程序的时间复杂度。

三、实验步骤

一、题目分析

在课堂上，我们已经学习过了，对于2^k这种幂次数量的比赛选手，可以直接二分，对调位置得到结果。

完全使用分治策略，问题规模最小是2，可以直接构建比赛集，然后合并，就是将本模块，挪动到对角线位置，构成新的一个整体模块。

这种方法是非常特殊，因为是幂次，所以大大降低了难度，不在此赘余，下面我将这种特殊情况，扩展到更一般情况，n可以是任意整数。

n位奇数时，比赛天数为n天，意味着，每个运动员都有一天的休息时间。

n位偶数时，比赛天数为n-1天，每个运动员每天都有比赛。

首先从基本入手，使用脑算，计算运动员的比赛规则表

（1） n=2

比赛只需要1天，比赛表如上

（2）n=3

比赛的总时间是3天，在这三天中，每个运动员都有一天的休息时间，并且他们每个人的休息时间都不在同一天。

（3）n=4

比赛总天数是3天，4=2+2，分成单独的两个队伍，队伍内先比赛，然后每个队员与另一个队伍中的每个运动员比赛。

（对比n=4和n=3，可以发现，n=4这一行删除，并且把表格中的4删除，就得到了表格n=3）

（4）n=5

比赛的总天数是5天，此时已经发现，没有前几个n比较小的时候容易写了，我们必须使用有效的策略。

n=5规模对于我来说太大了，先跳过吧。

（5）n=6

分成两组 3+3，每一组比赛的时间时3天，合并两组需要3天，总共6天。如何减少一天呢？

两组三天内的比赛，我们看到这是两组一模一样的表，1和4，2和5，3和6都有在相同时间在休息。让他们把空闲的时间利用起来。

然后两组合并。

此时剩下两天需要完成的比赛：

1：5、6

2：4、6

3：4、5

第四天

1vs5 2vs6 3vs4

第五天

1vs6 2vs4 3vs5

完成赛表。

这时，我们在考虑n=5，就简单多了，直接把第6行删除，然后把表格中的6也删除就OK了。

（6）n=7

在n=8的基础上删减得到。

（7）n=8

略，太简单了，见以上第一个图。

（8）n=9依托于n=10的计算。

n=10可以分成5+5，两个形状完全一样的表格，填补。然后在根据一定的算法进行补充后面的4天的表格。

以上，我们可以得到规律，就是对于n=2k，通过适当的删除，我们可以直接得到n=2k-1的比赛表。

而n=2k时可以考虑为n+n两组合并来求。

此时，我们需要对合并算法，进行探究。

再以n=6为例

简单填补后得到前三天的比赛表。

在接下来的2天，还需要完成的比赛

运动员1： 5、6

运动员2：4、6

运动员3：4、5

第四天

运动员1选了5（从小到大），那么运动员2选6（ 5+1 ），从下一位开始，运动员3选4（7-3）。

第五天

运动员1选了6，运动员2选4（7-3），运动员3选5（8-3）

完毕。

n=10

5+5

对于n=5的表格，我们已经在上述得到，对n=6进行掏空就行。

首先填补对应位置空闲时间，得到如下表格，是前5天的比赛表。

在接下来的4天时间，需要比赛。

运动员1：7、8、9、10

运动员2：6、8、9、10

运动员3：6、7、9、10

运动员4：6、7、8、10

运动员5：6、7、8、9

第6天

7、8、9、10、6

第7天

8、9、10、6、7

第8天

9、10、6、7、8

第9天

10、6、7、8、9

总表如下

因此这个n=10的情况也得到了。

以每组首个运动员第一个需要比赛的运动员为起点，形成一个环。

观察下面两图，可以看到规律。

下面，我将以上规律进行推广。

设f(m~n)表示对m~n个运动员比赛表的生成。

例如n=50

使用分治策略，分别是f(1~25)和f(26~50)，这两个长得基本一样，第二个表就是对第一个表中所有数字+25。因此问题分治成求f(1~25)，然后和f(26~50)合并。

以下是这个问题的递和归过程。

step 1:  f(1~50) → f(1~25) U  f(26~50)                  step 18: 输出结果，结束。  step 2:  f(1~25) → f(1~26) - f(26)                      step 17: 根据f(1~25)直接写出f(26~50)，合并为f(1~50)step 3:  f(1~26) → f(1~13) U f(14~26)                   step 16: f(1~26)删减为f(1~25)step 4:  f(1~13) → f(1~14) - f(14)                      step 15: 根据f(1~13)直接写出f(14~26)，合并为f(1~26)step 5:  f(1~14) → f(1~7) U f(8~14)                     step 14: f(1~14)删减为f(1~13)step 6: f(1~7)  → f(1~8) - f(8)                         step 13: 根据f(1~7)直接写出f(8~14)，合并为f(1~14)step 7: f(1~8) →  f(1~4) U f(4~8)                       step 12: f(1~8)删减为f(1~7)step 8: f(1~4) →  f(1~2) U f(3~4)                       step 11:  根据f(1~4)直接写出f(5~8)合并为f(1~8)step 9:  直接计算 f(1~2)，根据f(1~2)直接写出f(3~4)        step 10:  合并 f(1~2) f(3~4) 得到 f(1~4)

n可以扩展所有可计算范围。

当n为奇数时，通过计算f(n+1)，然后删减得到

当n为偶数时，二分，只计算前半部分，后半部分，可以直接“抄袭”前半部分

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