个人介绍

子序列的定义

上升子序列的定义

阎氏dp分析法

状态表示

属性

状态计算

初始化

代码模板

最长上升子序列的变形1：

例题1：

分析：

代码：

例题二：

分析：

代码：

总结：

最长上升子序列的变形2：

例题：最大上升子序和

分析：

代码：

最长上升子序列的变形3：

例题：

分析：

代码：

个人介绍

各位CSDN的友友们，大家好，我是小熙，一个算法小透明，希望在CSDN的大舞台可以和大家一起取得进步（^_^）

个人现状：上个学期在学校的ACM小组学了一个学期的算法，但是世界很大，我的梦想很远，我希望在我年轻的时候可以走出国门，到世界的其他地方看一看，再加上我的算法功底可能真的不太足以支持我在ACM比赛上做出成绩。所以我选择逐渐淡出ACM小组，并把之前的知识整理成博客供大家分享。

学习算法的小方法：知道算法的基本原理——>知道代码实现——>总结出代码模板并熟练于心——>基本模板题——>变式思维题

子序列的定义

子序列指的是去掉原数列中的任意位置的元素若干次，且不改变其先后顺序，得到的新数列。比如下图数列中“2 3 8 0”可以看做是一个子序列，“7,8”也可以看做是一个子序列。

上升子序列的定义

顾名思义，如果一个数列的子序列中元素大小是单调递增的，那么这个子序列就是上升子序列。如下图的“2 3 8 0”就不是，“7,8”就是

阎氏dp分析法

状态表示

dp[i]：表示数列中以第i个数据结尾的最长上升序列的长度。（这里就要注意了，我们线性dp设置状态的时候经常以集合中的最后一个元素进行状态的划分）

属性

通常属性有max/min/数量。这里最长上升子序列明显就是max。

状态计算

就以下图为例，i,j表示的是数组中元素的下标，i表示的是当前元素的下标，j表示的是i之前的元素的下标。

初始化

把dp[i]中的每一个元素的dp[i]设置为1

代码模板

这个专题的模板我们以题目的形式来呈现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n;
int a[N];
int dp[N];
int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++) dp[i]=1;//初始化for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=1;j<i;j++){if(a[i]>a[j]){dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);//dp的状态计算}}}int res=0;for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,dp[i]);cout<<res<<endl;return 0;
}

最长上升子序列的变形1：

例题1：

【题目描述】
怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。

有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。

假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？

【输入】
输入数据第一行是一个整数K(K<100)，代表有K组测试数据。

每组测试数据包含两行：第一行是一个整数N(N<100)，代表有N幢建筑。第二行包含N个不同的整数，每一个对应一幢建筑的高度h(0<h<10000)，按照建筑的排列顺序给出。

【输出】
对于每一组测试数据，输出一行，包含一个整数，代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。

【输入样例】
3
8
300 207 155 299 298 170 158 65
8
65 158 170 298 299 155 207 300
10
2 1 3 4 5 6 7 8 9 10

【输出样例】
6
6
9

分析：

有没有看着一年懵圈，这和最长上升子序列有什么关系，实际上这题的本质是让我们求取从数组左边以起点开始到对应点的最长上升子序列dp1[1]和以数组右边为起点开始到对应点的最长上升子序列dp2[i]。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k,n;
const int N=1e5+10;
int a[N];
int dp1[N];//表示以左边为起点的最长上升子序列的dp的值
int dp2[N];//表示以右边为起点的最长上升子序列的dp的值
int main()
{cin>>k;while(k--){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) dp1[i]=1;for(int i=1;i<=n;i++) dp2[i]=1;for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=0;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=1;j<i;j++){if(a[i]>a[j]) dp1[i]=max(dp1[i],dp1[j]+1);//dp的是以左边为起点的最长上升子序列的值}}for(int i=n;i>=1;i--){for(int j=n;j>i;j--){if(a[i]>a[j]) dp2[i]=max(dp2[i],dp2[j]+1);//dp的是以左边为起点的最长上升子序列的值}}int res=0;for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,max(dp1[i],dp2[i]));cout<<res<<endl;//计算结果}
}

例题2：

分析：

（1）：看到“不连续游览海拔相同的两个景点”，“一旦开始下山，就不往上走”就应该要联想到下图这张“山峰型”的图

（2）不难看出，答案就是max(dp1[i]+dp2[i])[1<=i<=n]

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int a[N];
int dp1[N];
int dp2[N];
int n;
int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++) dp1[i]=1;for(int i=1;i<=n;i++) dp2[i]=1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<i;j++){if(a[i]>a[j]) dp1[i]=max(dp1[i],dp1[j]+1);}}for(int i=n;i>=1;i--){for(int j=n;i<j;j--){if(a[i]>a[j]) dp2[i]=max(dp2[i],dp2[j]+1);}}int res=0;for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,dp1[i]+dp2[i]);cout<<res-1<<endl;//要减去一，因为当前的点被重复计算了两次return 0;
}

总结：

（1）：关于最长单调子序列延伸出来的山峰模型

凡是题干中有要求答案先升后降的趋势，就要想到这个点，上面的两道题都有这个特点。

最长上升子序列的变形2：

例题：最大上升子序和

分析：

（1）：之前讲了，线性dp经常以集合中的最后一个元素进行转态的划分，这里dp[i]表示的就是以第i个元素为结尾的最大上升子序列的值。

（2）：只要满足递增的条件，dp[i]=max(dp[i],dp[j]+a[i])

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int a[N];
int n;
int dp[N];
int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++) dp[i]=a[i];for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<i;j++){if(a[i]>a[j]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+a[i]);}}int res=0;for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,dp[i]);cout<<res;return 0;
}

最长上升子序列的变形3：

例题：

P2782 友好城市 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

分析：

刚开始看的时候有些慌张，但是在纸上一模拟发现就是最长上升子序列的问题。

（1）：每个城市是一一映射的函数关系，那么我们不妨开一个pair数组然后按照第一个城市编号的大小排序，这样第一个城市的编号就不用管了，理解为数组的下标就可以了，第二个城市就理解为数组的值就行了，然后套用最长上升子序列的模板。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;//数据类型
const int N=2e5+10;
pii a[N];//开pair类型的数组，呵呵，有点意思
int dp[N];
int main()
{int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i].first>>a[i].second;}sort(a+1,a+1+n);//如果a数组是pair类型就按照pair数组的第一个数据的大小排序for(int i=1;i<=n;i++) dp[i]=1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<i;j++) {if(a[i].second>a[j].second) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);}}int res=0;for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,dp[i]);cout<<res;
}

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手撕大厂笔试之最长上升子序列和它的各种变式

个人介绍

子序列的定义

上升子序列的定义

阎氏dp分析法

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属性

状态计算

初始化

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最长上升子序列的变形1：

例题1：

分析：

代码：

例题2：

分析：

代码：

总结：

最长上升子序列的变形2：

例题：最大上升子序和

分析：

代码：

最长上升子序列的变形3：

例题：

分析：

代码：

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