复变函数（3）-复变函数的积分

桃李春风一杯酒，江湖夜雨十年灯

3.1 复积分的定义：

设f(x)=u(x)+v(x)if(x)=u(x)+v(x)if(x)=u(x)+v(x)i是定义在区间[a,b][a,b][a,b]上的连续函数，称
∫abf(x)dx=∫abu(x)dx+i∫abv(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}u(x)dx+i\int_{a}^{b}v(x)dx∫abf(x)dx=∫abu(x)dx+i∫abv(x)dx 为f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上的积分。其中∫abu(x)dx\int_{a}^{b}u(x)dx∫abu(x)dx和∫abv(x)dx\int_{a}^{b}v(x)dx∫abv(x)dx是通常意义上的定积分。

3.2 复变函数的曲线积分：

设CCC为复平面内的有向光滑曲线，其参数方程为z=z(t)(a≤t≤b)z=z(t)\quad(a\le t\le b)z=z(t)(a≤t≤b)。函数w=f(z)w=f(z)w=f(z)在曲线上连续。称
∫Cf(z)dz=∫abf[z(t)]dz(t)=∫abf[z(t)]z′(t)dt\int_Cf(z)dz=\int_a^bf[z(t)]dz(t)=\int_a^bf[z(t)]z'(t)dt∫Cf(z)dz=∫abf[z(t)]dz(t)=∫abf[z(t)]z′(t)dt 为f(z)f(z)f(z)沿曲线CCC的积分。其中f(z)f(z)f(z)称为被积函数，CCC称为积分曲线。如果CCC为闭曲线，那么沿此闭曲线的积分记为∮Cf(z)dz\oint_Cf(z)dz∮Cf(z)dz。
令CCC为以z0z_0z0为中心，rrr为半径的正向圆周，nnn为整数，有
∮C1(z−z0)n+1dz={2πi,n=00,n≠0\oint_C\frac{1}{(z-z_0)^{n+1}}dz=\left\{\begin{aligned}&2\pi i,\quad &n=0\\&0,\quad &n\ne 0 \end{aligned}\right.∮C(z−z0)n+11dz={2πi,0,n=0n=0

3.3 复积分的物理意义：

设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)if(z)=u(x,y)+v(x,y)if(z)=u(x,y)+v(x,y)i为连续函数，曲线CCC的参数方程为z(t)=x(t)+y(t)i(a≤t≤b)z(t)=x(t)+y(t)i\quad(a\le t\le b)z(t)=x(t)+y(t)i(a≤t≤b)，则
∫Cf(z)dz=∫C(udx−vdy)+i∫C(vdx+udy)\int_Cf(z)dz=\int_C(udx-vdy)+i\int_C(vdx+udy)∫Cf(z)dz=∫C(udx−vdy)+i∫C(vdx+udy) 从而对于共轭函数f(z)‾\overline{f(z)}f(z)有
∫Cf(z)‾dz=∫C(u(x,y)dx+v(x,y)dy)+i∫C(−v(x,y)dx+u(x,y)dy)\int_C\overline{f(z)}dz=\int_C(u(x,y)dx+v(x,y)dy)+i\int_C(-v(x,y)dx+u(x,y)dy)∫Cf(z)dz=∫C(u(x,y)dx+v(x,y)dy)+i∫C(−v(x,y)dx+u(x,y)dy) 令φ=∫C(u(x,y)dx+v(x,y)dy)\varphi=\int_C(u(x,y)dx+v(x,y)dy)φ=∫C(u(x,y)dx+v(x,y)dy)和ψ=∫C(−v(x,y)dx+u(x,y)dy)\psi=\int_C(-v(x,y)dx+u(x,y)dy)ψ=∫C(−v(x,y)dx+u(x,y)dy)，则有
φ=Re[∫Cf(z)‾dz],ψ=Im[∫Cf(z)‾dz]\varphi=Re[\int_C\overline{f(z)}dz],\quad \psi=Im[\int_C\overline{f(z)}dz]φ=Re[∫Cf(z)dz],ψ=Im[∫Cf(z)dz] 在物理学中φ\varphiφ和ψ\psiψ都是重要的基本物理量。如果f(z)f(z)f(z)是一个力场，则φ\varphiφ表示了场力沿有向曲线CCC做的功；如果f(z)f(z)f(z)表示一个流速场，且CCC是闭曲线，那么φ\varphiφ表示了流体沿曲线CCC正向的环流量，ψ\psiψ表示了流体从曲线CCC内部流向外部的通量。

3.4 复积分的性质：

(1)设kkk和λ\lambdaλ为常数，则
∫C[kf(z)±λg(z)]dz=k∫Cf(z)dz±λ∫Cg(z)dz\int_C[kf(z)\pm \lambda g(z)]dz=k\int_Cf(z)dz\pm\lambda\int_Cg(z)dz∫C[kf(z)±λg(z)]dz=k∫Cf(z)dz±λ∫Cg(z)dz (2)设C−C^-C−为CCC的负向曲线，则
∫Cf(z)dz=−∫C−f(z)dz\int_Cf(z)dz=-\int_{C^-}f(z)dz∫Cf(z)dz=−∫C−f(z)dz （3)设曲线CCC:z=z(t)(a≤t≤b)z=z(t)\quad (a\le t\le b)z=z(t)(a≤t≤b)的长度为LLL，函数f(z)f(z)f(z)在曲线CCC上有界，即存在正数MMM，使得∣f(z)∣≤M|f(z)|\le M∣f(z)∣≤M，那么
∣∫Cf(z)dz∣≤∫ab∣f(z(t))∣∣z′(t)∣dt≤ML|\int_Cf(z)dz|\le\int_{a}^{b}|f(z(t))||z'(t)|dt\le ML∣∫Cf(z)dz∣≤∫ab∣f(z(t))∣∣z′(t)∣dt≤ML

3.5 柯西积分定理：

如果函数f(z)f(z)f(z)在单连通域DDD内处处解析，那么函数f(z)f(z)f(z)沿DDD内的任何一条封闭曲线CCC的积分为000，即
∮Cf(z)dz=0\oint_Cf(z)dz=0∮Cf(z)dz=0

3.6 闭合复路定理：

设函数f(z)f(z)f(z)在多连通域DDD内解析，CCC是DDD内的一条简单闭曲线，C1,C2,⋯,CnC_1,C_2,\cdots,C_nC1,C2,⋯,Cn是在CCC内部的简单闭曲线，它们互不相交也互不包含，并且以CCC以及C1,C2,⋯,CnC_1,C_2,\cdots,C_nC1,C2,⋯,Cn为边界的区域全含于DDD，则
∮Cf(z)dz=∮C1f(z)dz+∮C2f(z)dz+⋯+∮Cnf(z)dz\oint_Cf(z)dz=\oint_{C_1}f(z)dz+\oint_{C_2}f(z)dz+\cdots+\oint_{C_n}f(z)dz∮Cf(z)dz=∮C1f(z)dz+∮C2f(z)dz+⋯+∮Cnf(z)dz 如果记Γ\GammaΓ为C,C1,C2,⋯,CnC,C_1,C_2,\cdots,C_nC,C1,C2,⋯,Cn所围区域的正向边界曲线，则
∮Γf(z)dz=0\oint_{\Gamma}f(z)dz=0∮Γf(z)dz=0 对于C1,C2,⋯,CnC_1,C_2,\cdots,C_nC1,C2,⋯,Cn中的任一CmC_mCm，如果它所围的区域除了孤立奇点z0z_0z0处处解析，那么为了计算∮Cmf(z)dz\oint_{C_m}f(z)dz∮Cmf(z)dz，可以参考公式
∮Cm1(z−z0)n+1dz={2πi,n=00,n≠0\oint_{C_m}\frac{1}{(z-z_0)^{n+1}}dz=\left\{\begin{aligned}&2\pi i,\quad &n=0\\&0,\quad &n\ne 0 \end{aligned}\right.∮Cm(z−z0)n+11dz={2πi,0,n=0n=0 从而将f(z)f(z)f(z)化为1(z−z0)n+1\frac{1}{(z-z_0)^{n+1}}(z−z0)n+11的形式进行计算。

3.7 定积分：

若函数f(z)f(z)f(z)在单连通域DDD内处处解析，则积分∫Cf(z)dz\int_Cf(z)dz∫Cf(z)dz在区域DDD内和积分路径CCC无关，只与起点和终点有关。从而固定起点z0z_0z0，可以定义一个DDD内的单值函数F(z)F(z)F(z)，有
F(z)=∫z0zf(ζ)dζF(z)=\int_{z_0}^zf(\zeta)d\zetaF(z)=∫z0zf(ζ)dζ 从而函数F(z)F(z)F(z)在区域DDD内也是解析的，且F′(z)=f(z)F'(z)=f(z)F′(z)=f(z).

3.8 不定积分：

F(z)=∫z0zf(ζ)dζF(z)=\int_{z_0}^zf(\zeta)d\zetaF(z)=∫z0zf(ζ)dζ是f(z)f(z)f(z)的一个原函数。f(z)f(z)f(z)的全体原函数可以表示为F(z)+cF(z)+cF(z)+c，称为f(z)f(z)f(z)的不定积分，记作
∫f(z)dz=F(z)+c\int f(z)dz=F(z)+c∫f(z)dz=F(z)+c 如果函数f(z)f(z)f(z)在单连通域DDD内解析，且F(z)F(z)F(z)是f(z)f(z)f(z)的一个原函数，那么对DDD内任意两点z1,z2z_1,z_2z1,z2，有
∫z1z2f(z)dz=F(z1)−F(z2)\int_{z_1}^{z_2}f(z)dz=F(z_1)-F(z_2)∫z1z2f(z)dz=F(z1)−F(z2)

3.9 平面向量场的复势：

设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)if(z)=u(x,y)+v(x,y)if(z)=u(x,y)+v(x,y)i为单连通域DDD内的平面向量场，且u(x,y)u(x,y)u(x,y)和v(x,y)v(x,y)v(x,y)具有一阶连续偏导数。
称∂u∂x+∂v∂y\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}∂x∂u+∂y∂v为向量场f(z)f(z)f(z)的散度，记为divf(z)divf(z)divf(z)，若divf(z)=0divf(z)=0divf(z)=0，称f(z)f(z)f(z)为无源场；称向量(∂v∂x−∂u∂y)k⃗(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y})\vec{k}(∂x∂v−∂y∂u)k为向量场f(z)f(z)f(z)的旋度，记为rotf(z)rotf(z)rotf(z)，其中k⃗\vec{k}k为垂直于场平面的单位向量。若rotf(z)=0rotf(z)=0rotf(z)=0，称f(z)f(z)f(z)为无旋场。
若f(z)f(z)f(z)在区域DDD中既是无源场又是无旋场，那么
∂u∂x=−∂v∂y,∂v∂x=∂u∂y\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial v}{\partial y}\ ,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}∂x∂u=−∂y∂v ,∂x∂v=∂y∂u 从而根据柯西-黎曼定理，f(z)‾=u(x,y)−v(x,y)i\overline{f(z)}=u(x,y)-v(x,y)if(z)=u(x,y)−v(x,y)i在区域DDD内解析，设F(z)=φ(x,y)+ψ(x,y)iF(z)=\varphi(x,y)+\psi (x,y)iF(z)=φ(x,y)+ψ(x,y)i是f(z)‾\overline{f(z)}f(z)的原函数，则
F(z)=∫f(z)‾dz,f(z)‾=F′(z)F(z)=\int\overline{f(z)}dz\ ,\quad \overline{f(z)}=F'(z)F(z)=∫f(z)dz ,f(z)=F′(z)φ(x,y)=Re∫f(z)‾dz,ψ(x,y)=Im∫f(z)‾dz\varphi(x,y)=Re\int\overline{f(z)}dz\ ,\quad \psi(x,y)=Im\int\overline{f(z)}dzφ(x,y)=Re∫f(z)dz ,ψ(x,y)=Im∫f(z)dz 其中φ(x,y)\varphi(x,y)φ(x,y)称为向量场f(z)f(z)f(z)的势函数，等值线φ(x,y)=λ1\varphi(x,y)=\lambda_1φ(x,y)=λ1称为向量场f(z)f(z)f(z)的等势线；ψ(x,y)\psi(x,y)ψ(x,y)称为向量场f(z)f(z)f(z)的流函数，等值线ψ(x,y)=λ2\psi(x,y)=\lambda_2ψ(x,y)=λ2称为向量场f(z)f(z)f(z)的流线；函数F(z)F(z)F(z)称为向量场f(z)f(z)f(z)的复势。此时φ(x,y)\varphi(x,y)φ(x,y)和ψ(x,y)\psi(x,y)ψ(x,y)构成共轭调和函数，所以f(z)f(z)f(z)称为调和场。

3.10 柯西积分公式:

如果f(z)f(z)f(z)为区域DDD内的解析函数，CCC为DDD的任意一条正向简单闭曲线，它的内部全部含于DDD，z0z_0z0为CCC内任意一点，那么
f(z0)=12πi∮Cf(z)z−z0dzf(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dzf(z0)=2πi1∮Cz−z0f(z)dz

3.11 高阶导数公式：

如果f(z)f(z)f(z)为区域DDD内的解析函数，那么它的各阶导数均为DDD内的解析函数，CCC为DDD的任意一条正向简单闭曲线，它的内部全部含于DDD，z0z_0z0为CCC内任意一点，那么
f(n)(z0)=n!2πi∮Cf(z)(z−z0)n+1dz(n=1,2,⋯)f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\quad (n=1,2,\cdots)f(n)(z0)=2πin!∮C(z−z0)n+1f(z)dz(n=1,2,⋯)