低级版

方法概述

直接用组合数性质中的③式递推即可

程序实现

int mod,c[2010][2010];
int C(int n)
{for(int i=0;i<=n;i++) c[i][0]=1;c[1][1]=1;for(int i=2;i<=n;i++) for(int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
}

时间复杂度

Θ ( n 2 ) \Theta (n^2) Θ(n2)

高级版

方法概述

这一种求组合数的方法用到了一个著名的定理——Lucas定理！
我们先来了解一下这个神奇的定理

Lucas定理

设 p p p为质数， ( n m ) ≡ ( n / p m / p ) ( n % p m % p ) ( m o d p ) \binom{n}{m}\equiv\binom{n/p}{m/p}\binom{n\%p}{m\%p}\pmod{p} (mn)≡(m/pn/p)(m%pn%p)(modp)
证明：设 n = s p + q , m = t p + r n=sp+q,m=tp+r n=sp+q,m=tp+r且 q , r < p q,r<p q,r<p
∵ ( 1 + x ) p ≡ ( 1 + x p ) ( m o d p ) \because (1+x)^p\equiv (1+x^p)\pmod{p} ∵(1+x)p≡(1+xp)(modp)（费马小定理）
∴ ( 1 + x ) n ≡ ( 1 + x ) p s ( 1 + x ) q ≡ ( 1 + x p ) s ( 1 + x ) q = ∑ i = 0 s ( s i ) x i p × ∑ j = 0 q ( q j ) x j = ∑ i = 0 s p + q ( s p + q i ) x i ( m o d p ) \therefore (1+x)^n\equiv (1+x)^{ps}(1+x)^q\equiv\left(1+x^p\right)^s(1+x)^q=\sum \limits_{i=0}^s\binom{s}{i}x^{ip}\times \sum \limits_{j=0}^{q}\binom{q}{j}x^j=\sum \limits_{i=0}^{sp+q}\binom{sp+q}{i}x^i\pmod{p} ∴(1+x)n≡(1+x)ps(1+x)q≡(1+xp)s(1+x)q=i=0∑s(is)xip×j=0∑q(jq)xj=i=0∑sp+q(isp+q)xi(modp)
∴ ( s t ) ( q r ) ≡ ( s p + q t p + r ) ≡ ( n m ) ( m o d p ) \therefore \binom{s}{t}\binom{q}{r}\equiv\binom{sp+q}{tp+r}\equiv \binom{n}{m}\pmod{p} ∴(ts)(rq)≡(tp+rsp+q)≡(mn)(modp)（ x t p + r x^{tp+r} xtp+r的系数）
∴ ( n m ) ≡ ( n / p m / p ) ( n % p m % p ) ( m o d p ) \therefore \binom{n}{m}\equiv\binom{n/p}{m/p}\binom{n\%p}{m\%p}\pmod{p} ∴(mn)≡(m/pn/p)(m%pn%p)(modp)
有了这个定理，我们就可以用来解决 p p p为质数的情况了，只需要递归一下就可以了
但是 p p p不是质数呢？那肯定是出题人看你不爽，故意搞你
这时候，我们就要请出我们的救星——exLucas定理！

exLucas定理

其他

分段打表万岁！

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